大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
放物線上の点を $(x,\sqrt{2}(x-1{)}^2)$ とおく。この点と原点との距離の2乗を $g(x)=x^2+2(x-1{)}^4$ とする。円は原点を中心とするので，放物線と円がただ1つの共有点をもつためには，$r^2$が$g(x)$の最小値に等しければよい。

微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+8(x-1{)}^3=2(2x-1)(2x^2-5x+4)$$ である。ここで $2x^2-5x+4$ の判別式は$25-32<0$で，係数の先頭は正だから，常に正である。したがって$g^{\mathrm{\prime }}(x)$の符号は$2x-1$の符号で決まり，$x=1\mathrm{/}2$で最小となる。

よって共有点は $$a=\frac{1}{2},b=\sqrt{2}{(\frac{1}{2}-1)}^2=\frac{\sqrt{2}}{4}$$ である。また $$r^2=a^2+b^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$$ より $$r=\frac{\sqrt{6}}{4}$$ である。

したがって である。

(2)
(1)より$a=1\mathrm{/}2$，$r^2=3\mathrm{/}8$である。領域は$$\frac{1}{2}\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \sqrt{2}(x-1{)}^2,x^2+y^2\geqq r^2$$で表される。 $x$を固定して$x$軸のまわりに回転する。放物線の上端による外側半径の2乗は $$\{\sqrt{2}(x-1{)}^2{\}}^2=2(x-1{)}^4$$ である。一方，円の内部を除く条件$x^2+y^2\geqq r^2$により，$x^2<r^2$の範囲では内側半径の2乗 $r^2-x^2=\frac{3}{8}-x^2$ を引く必要がある。$x\geqq r=\sqrt{6}\mathrm{/}4$では，$x^2\geqq r^2$なので円による除外はない。

したがって体積$V$は$$V=\pi {\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}\mathrm{/}4}\{2(x-1{)}^4-(\frac{3}{8}-x^2)\}dx+\pi {\int }_{\sqrt{6}\mathrm{/}4}^{1}2(x-1{)}^{4}dx$$である。計算を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle ={\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}2(x-1{)}^{4}dx-{\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}\mathrm{/}4}(\frac{3}{8}-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[\frac{2(x-1{)}^5}{5}\right]}_{1\mathrm{/}2}^1-{[\frac{3x}{8}-\frac{x^3}{3}]}_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}\mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{80}-(\frac{\sqrt{6}}{16}-\frac{7}{48})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{19}{120}-\frac{\sqrt{6}}{16}}\end{array}$$である。したがってである。

(1) は共有点で円と放物線の接線の傾きが一致することを用いる。(2)は放物線の下を回転してできる全体積から，円の内部に当たる部分を球冠として引く。積分区間を分ける方法とは別に，球冠の高さから体積を計算する。

(1) 共有点$(a,b)$では$$\begin{array}{cccc}& b=\sqrt{2}(a-1{)}^2& & \text{(1)}\end{array}$$である。共有点がただ1つなので，円と放物線はこの点で接する。放物線の接線ベクトルは$$(1,2\sqrt{2}(a-1))$$であり，円の法線ベクトルは$(a,b)$と平行である。両者が直交することから$$a+2\sqrt{2}b(a-1)=0$$を得る。(1)を代入すると$$4(a-1{)}^3+a=0,$$すなわち$$(2a-1)(2a^2-5a+4)=0$$である。第2因子は判別式が$-7$で常に正だから，$a=1\mathrm{/}2$だけが実数解である。よって$$b=\frac{\sqrt{2}}{4},r=\sqrt{a^2+b^2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\mathrm{.}$$したがって(2) 円の条件をいったん無視し，$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1$で放物線の下を$x$軸のまわりに回転した体積は$$V_0=\pi {\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}2(x-1{)}^{4}dx=\frac{\pi }{80}$$である。

ここから，球$x^2+y^2\leqq r^2$のうち$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq r$にある球冠を除けばよい。球冠の高さは$$h=r-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-2}{4}$$であり，半径$r$，高さ$h$の球冠の体積は$\pi h^2(r-h\mathrm{/}3)$だから$$V_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}}=\pi h^2(r-\frac{h}{3})=\pi (\frac{\sqrt{6}}{16}-\frac{7}{48})\mathrm{.}$$よって求める体積は