大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
(A)と$b\geqq 2$より $$\frac{a}{b}<\sqrt{7}+\frac{2}{b^4}\leqq \sqrt{7}+\frac{1}{8}$$ である。したがって $$\frac{a}{b}+\sqrt{7}<2\sqrt{7}+\frac{1}{8}$$ である。与えられた$\sqrt{7}<2.646$を用いると $$2\sqrt{7}+\frac{1}{8}<2\cdot 2.646+\frac{1}{8}=5.417<6$$ である。また$a,b$は自然数なので$$\frac{a}{b}+\sqrt{7}>0$$である。よって $$\mid \frac{a}{b}+\sqrt{7}\mid <6$$ が成り立つ。

(2) $\sqrt{7}$は無理数なので，整数$a^2-7b^2$は0ではない。したがって$\mathrm{\mid }{a}^2-7b^2\mathrm{\mid }$は正の整数である。

(1) を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{a}^2-7b^2\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =b^2\mid {\left(\frac{a}{b}\right)}^2-7\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b^2\mid \frac{a}{b}-\sqrt{7}\mid \mid \frac{a}{b}+\sqrt{7}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <b^2\cdot \frac{2}{b^4}\cdot 6=\frac{12}{b^2}}\end{array}$$である。よって $$1\leqq \mathrm{\mid }{a}^2-7b^2\mathrm{\mid }<\frac{12}{b^2}$$ であるから，$b^2<12$でなければならない。$b\geqq 2$より，調べるべきものは $b=2,3$ だけである。 $b=2$のとき $\mathrm{\mid }{a}^2-28\mathrm{\mid }<3$ である。つまり $25<a^2<31$ であるが，この範囲に平方数はない。 $b=3$のとき $\mathrm{\mid }{a}^2-63\mathrm{\mid }<\frac{4}{3}$ である。したがって $$\frac{185}{3}<a^2<\frac{193}{3}$$ であり，この範囲にある平方数は$64$だけである。よって $a=8$ を得る。

最後に$(a,b)=(8,3)$が(A)を満たすことを確認する。$$\mid \frac{8}{3}-\sqrt{7}\mid =\frac{\mid \frac{64}{9}-7\mid }{\frac{8}{3}+\sqrt{7}}=\frac{1}{9(\frac{8}{3}+\sqrt{7})}$$である。$$\sqrt{7}>2.645>\frac{11}{5}$$より $$\frac{8}{3}+\sqrt{7}>\frac{8}{3}+\frac{11}{5}=\frac{73}{15}>\frac{9}{2}$$ だから$$\mid \frac{8}{3}-\sqrt{7}\mid <\frac{1}{9\cdot \frac{9}{2}}=\frac{2}{81}=\frac{2}{3^4}$$である。したがって求める組は $(a,b)=(8,3)$ である。

(1) の評価と $\sqrt{7}$ の無理性から、$\mathrm{\mid }{a}^2-7b^2\mathrm{\mid }$ を0でない整数として $b=2,3$ まで絞る。その後は平方数を調べる代わりに、もとの近似不等式を $a$ の短い開区間へ直して整数 $a$ を直接読む。

(1)
$(\mathrm{A})$ と $b\geqq 2$ より$$\frac{a}{b}<\sqrt{7}+\frac{2}{b^4}\leqq \sqrt{7}+\frac{1}{8}\mathrm{.}$$したがって$$0<\frac{a}{b}+\sqrt{7}<2\sqrt{7}+\frac{1}{8}<2\cdot 2.646+\frac{1}{8}<6.$$よって$$\mid \frac{a}{b}+\sqrt{7}\mid <6.$$(2)
$\sqrt{7}$ は無理数なので$$a^2-7b^2\mathrm{\ne }0.$$よって $\mathrm{\mid }{a}^2-7b^2\mathrm{\mid }$ は正の整数である。(1)と $(\mathrm{A})$ を掛け合わせると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1}& {\displaystyle \leqq \mathrm{\mid }{a}^2-7b^2\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b^2\mid \frac{a}{b}-\sqrt{7}\mid \mid \frac{a}{b}+\sqrt{7}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <b^2\cdot \frac{2}{b^4}\cdot 6=\frac{12}{b^2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $b^2<12$。$b\geqq 2$ だから$$b=2\text{または}b=3.$$$b=2$ のとき$$\mid \frac{a}{2}-\sqrt{7}\mid <\frac{1}{8}\mathrm{.}$$$2.645<\sqrt{7}<2.646$ を用いると$$2.520<\frac{a}{2}<2.771,$$すなわち$$5.040<a<\mathrm{5.542.}$$この範囲に自然数 $a$ はない。

$b=3$ のとき$$\mathrm{\mid }a-3\sqrt{7}\mathrm{\mid }<\frac{2}{27}\mathrm{.}$$また$$7.935<3\sqrt{7}<7.938$$だから$$7.86<a<\mathrm{8.013.}$$よって唯一の候補は $a=8$ である。

最後に$$\mid \frac{8}{3}-\sqrt{7}\mid =\frac{1}{9(\frac{8}{3}+\sqrt{7})}\mathrm{.}$$$\sqrt{7}>11\mathrm{/}5$ より$$\frac{8}{3}+\sqrt{7}>\frac{8}{3}+\frac{11}{5}=\frac{73}{15}>\frac{9}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\mid \frac{8}{3}-\sqrt{7}\mid <\frac{1}{9\cdot \frac{9}{2}}=\frac{2}{81}=\frac{2}{3^4}\mathrm{.}$$よって求める組は$$(a,b)=(8,3)$$である。