大阪大学 2017年度
理系数学 第3問

解答

解法1

(1)

(A)と$b\geqq 2$より $\frac{a}{b}<\sqrt{7}+\frac{2}{b^4}\leqq \sqrt{7}+\frac{1}{8}$ である。したがって $\frac{a}{b}+\sqrt{7}<2\sqrt{7}+\frac{1}{8}$ である。与えられた$\sqrt{7}<2.646$を用いると $2\sqrt{7}+\frac{1}{8}<2\cdot 2.646+\frac{1}{8}=5.417<6$ である。また$a,b$は自然数なので$\frac{a}{b}+\sqrt{7}>0$である。よって $\left|\frac{a}{b}+\sqrt{7}\right|<6$ が成り立つ。

(2)

$\sqrt{7}$は無理数なので，整数$a^2-7b^2$は0ではない。したがって$|a^2-7b^2|$は正の整数である。

(1)を用いると

である。よって $1\leqq |a^2-7b^2|<\frac{12}{b^2}$ であるから，$b^2<12$でなければならない。$b\geqq 2$より，調べるべきものは $b=2,3$ だけである。 $b=2$のとき $|a^2-28|<3$ である。つまり $25<a^2<31$ であるが，この範囲に平方数はない。 $b=3$のとき $|a^2-63|<\frac{4}{3}$ である。したがって $\frac{185}{3}<a^2<\frac{193}{3}$ であり，この範囲にある平方数は$64$だけである。よって $a=8$ を得る。

最後に$(a,b)=(8,3)$が(A)を満たすことを確認する。

である。$\sqrt{7}>2.645>\frac{11}{5}$より $\frac{8}{3}+\sqrt{7}>\frac{8}{3}+\frac{11}{5}=\frac{73}{15}>\frac{9}{2}$ だから

である。したがって求める組は $(a,b)=(8,3)$ である。

解法2

(1)

$(\mathrm{A})$ と $b\geqq 2$ より

したがって

よって

(2)

$\sqrt{7}$ は無理数なので

よって $|a^2-7b^2|$ は正の整数である。(1)と $(\mathrm{A})$ を掛け合わせると

したがって $b^2<12$。$b\geqq 2$ だから

$b=2$ のとき

$2.645<\sqrt{7}<2.646$ を用いると

すなわち

この範囲に自然数 $a$ はない。

$b=3$ のとき

また

だから

よって唯一の候補は $a=8$ である。

最後に

$\sqrt{7}>11/5$ より

したがって

よって求める組は

である。