大阪大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

関数

f (t) = (sin t - cos t) sin 2 t

を考える。

(1) $x = sin t - cos t$ とおくとき， $f (t)$ を $x$ を用いて表せ。

(2) $t$ が

0 ≦ t ≦ π

の範囲を動くとき， $f (t)$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

$x = sin t - cos t$ と置き、 $x^{2} = 1 - sin 2 t$ から $sin 2 t$ を消去して三次関数 $x - x^{3}$ に直す。あとは $0 ≦ t ≦ π$ に対応する $x$ の値域を正確に求め、端点と臨界点 $x = \pm 1/ 3$ の値を比較する。

解法2

(1)で $f (t) = x - x^{3}$ と直し， $x$ の値域 $[- 1, 2]$ を求めるところまでは同じである。(2)では微分せず，最大候補との差と最小候補との差を因数分解する。区間上で各因子の符号を確認し，等号成立点が実際に値域内にあることを示す。

解答

解法1

(1)

$x = sin t - cos t$ とおくと、 $x^{2} = sin^{2} t - 2 sin t cos t + cos^{2} t = 1 - sin 2 t$ である。したがって $sin 2 t = 1 - x^{2}$ であり、 $f (t) = (sin t - cos t) sin 2 t = x (1 - x^{2}) = x - x^{3}$ となる。

(2)

$x = sin t - cos t = 2 sin (t - \frac{π}{4})$ である。ここで $- \frac{π}{4} ≦ t - \frac{π}{4} ≦ \frac{3 π}{4}$ だから、この範囲で $sin (t - \frac{π}{4})$ の最小値は $- 1/ 2$ 、最大値は $1$ である。よって $- 1 ≦ x ≦ 2$ である。 $F (x) = x - x^{3}$ とおくと、 $F^{'} (x) = 1 - 3 x^{2}$ であり、区間 $[- 1, 2]$ の内部の臨界点は $x = \pm 1/ 3$ である。端点も含めて値を比べると、

x F (x) - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{2}{3 3} \frac{1}{3} \frac{2}{3 3} 2 - 2

である。したがって、最大値は $\frac{2}{3 3}$ であり、最小値は $- 2$ である。

解法2

(1)

x = sin t - cos t

とおくと

x^{2} = 1 - sin 2 t .

したがって

f (t) = x (1 - x^{2}) = x - x^{3} .

(2)

x = 2 sin (t - \frac{π}{4})

であり，

- \frac{π}{4} ≦ t - \frac{π}{4} ≦ \frac{3 π}{4}

だから

- 1 ≦ x ≦ 2 .

$F (x) = x - x^{3}$ とおく。最大値について

\frac{2}{3 3} - F (x) = (x - \frac{1}{3})^{2} (x + \frac{2}{3}) .

区間 $[- 1, 2]$ では

x + \frac{2}{3} > 0

なので

F (x) ≦ \frac{2}{3 3} .

等号は $x = 1/ 3$ のときに成り立ち，この値は区間内にある。

一方，

F (x) + 2 = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) .

区間上で $2 - x ≧ 0$ であり，

x^{2} + 2 x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} > 0

だから

F (x) ≧ - 2 .

等号は $x = 2$ のときに成り立つ。

よって最大値は

\frac{2}{3 3},

最小値は

- 2

である。

大阪大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2018年度
文系数学第1問