大阪大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $x=\sin t-\cos t$ とおくと、$$x^2={\sin }^{2}t-2\sin t\cos t+{\cos }^{2}t=1-\sin 2t$$ である。したがって $\sin 2t=1-x^2$ であり、$$f(t)=(\sin t-\cos t)\sin 2t=x(1-x^2)=x-x^3$$ となる。

(2) $$x=\sin t-\cos t=\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})$$ である。ここで $$-\frac{\pi }{4}\leqq t-\frac{\pi }{4}\leqq \frac{3\pi }{4}$$ だから、この範囲で $\sin (t-\frac{\pi }{4})$ の最小値は $-1\mathrm{/}\sqrt{2}$、最大値は $1$ である。よって $-1\leqq x\leqq \sqrt{2}$ である。 $F(x)=x-x^3$ とおくと、$F^{\mathrm{\prime }}(x)=1-3x^2$ であり、区間 $[-1,\sqrt{2}]$ の内部の臨界点は $x=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。端点も含めて値を比べると、$$\begin{array}{ccccc}x& -1& -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \sqrt{2}\\ F(x)& 0& -\frac{2}{3\sqrt{3}}& \frac{2}{3\sqrt{3}}& -\sqrt{2}\end{array}$$である。したがって、最大値は $\frac{2}{3\sqrt{3}}$ であり、最小値は $-\sqrt{2}$ である。

(1) で $f(t)=x-x^3$ と直し，$x$ の値域 $[-1,\sqrt{2}]$ を求めるところまでは同じである。(2)では微分せず，最大候補との差と最小候補との差を因数分解する。区間上で各因子の符号を確認し，等号成立点が実際に値域内にあることを示す。

(1) $$x=\sin t-\cos t$$とおくと$$x^2=1-\sin 2t\mathrm{.}$$したがって$$f(t)=x(1-x^2)=x-x^3\mathrm{.}$$(2)$$x=\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})$$であり，$$-\frac{\pi }{4}\leqq t-\frac{\pi }{4}\leqq \frac{3\pi }{4}$$だから$$-1\leqq x\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$$F(x)=x-x^3$ とおく。最大値について$$\frac{2}{3\sqrt{3}}-F(x)={(x-\frac{1}{\sqrt{3}})}^2(x+\frac{2}{\sqrt{3}})\mathrm{.}$$区間 $[-1,\sqrt{2}]$ では$$x+\frac{2}{\sqrt{3}}>0$$なので$$F(x)\leqq \frac{2}{3\sqrt{3}}\mathrm{.}$$等号は $x=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のときに成り立ち，この値は区間内にある。

一方，$$F(x)+\sqrt{2}=(\sqrt{2}-x)(x^2+\sqrt{2}x+1)\mathrm{.}$$区間上で $\sqrt{2}-x\geqq 0$ であり，$$x^2+\sqrt{2}x+1={(x+\frac{1}{\sqrt{2}})}^2+\frac{1}{2}>0$$だから$$F(x)\geqq -\sqrt{2}\mathrm{.}$$等号は $x=\sqrt{2}$ のときに成り立つ。

よって最大値は$$\frac{2}{3\sqrt{3}},$$最小値は$$-\sqrt{2}$$である。