阪大 2018年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $x - a = u$ と置いて積分区間を $0$ から $c - a$ に直し、 $c = a$ と $2 (c - a) = 3 (b - a)$ の2場合に分けて数える。後者は $a + 2 c = 3 b$ というさいころの目の整数条件なので、実際の組を列挙して重複を避ける。(2) は $u = \log_{a} b$ 、 $v = \log_{b} c$ とおいて $(1 - v) (2 u - 1) = 0$ に因数分解し、 $c = b$ の場合と $a = b^{2}$ の場合の重なりを1つだけ引く。

解答

(1) $u = x - a$ とおくと、 $x - b = u - (b - a)$ であり、 $\int_{a}^{c} (x - a) (x - b) d x = \int_{0}^{c - a} u {u - (b - a)} d u$ である。右辺は ${[\frac{u^{3}}{3} - \frac{b - a}{2} u^{2}]}_{0}^{c - a} = (c - a)^{2} (\frac{c - a}{3} - \frac{b - a}{2})$ となる。したがって条件は $c = a$ または $2 (c - a) = 3 (b - a)$ である。 $c = a$ の場合、 $a$ は6通り、 $b$ も6通りなので $36$ 通りである。次に $c \neq a$ とする。このとき $2 (c - a) = 3 (b - a) ⟺ a + 2 c = 3 b$ であり、 $1 ≦ a, b, c ≦ 6$ を満たす組は $(1, 3, 4), (2, 4, 5), (3, 5, 6), (4, 2, 1), (5, 3, 2), (6, 4, 3)$ の6通りである。よって条件を満たす組は合計 $36 + 6 = 42$ 通りだから、求める確率は $\frac{42}{6^{3}} = \frac{7}{36}$ である。

(2)
条件に $\log_{a} c$ と $\log_{b} c$ が現れるので、 $a, b ≧ 2$ に注意する。そこで $u = \log_{a} b, v = \log_{b} c$ とおくと、底の変換より $\log_{a} c = (\log_{a} b) (\log_{b} c) = u v$ である。与えられた条件は $2 u - 2 u v + v = 1$ すなわち $(1 - v) (2 u - 1) = 0$ と因数分解できる。 $v = 1$ のときは $\log_{b} c = 1$ だから $c = b$ である。この場合、 $a, b$ はそれぞれ $2, 3, 4, 5, 6$ の5通りなので $25$ 通りである。 $2 u - 1 = 0$ のときは $\log_{a} b = 1 / 2$ だから $b^{2} = a$ である。 $a, b$ がさいころの目で $a, b ≧ 2$ を満たすものは $(a, b) = (4, 2)$ だけであり、このとき $c$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の6通りである。ただし $(a, b, c) = (4, 2, 2)$ は $c = b$ の場合にも含まれるので、重複を1つ引く。

したがって条件を満たす組は $25 + 6 - 1 = 30$ 通りである。求める確率は $\frac{30}{6^{3}} = \frac{5}{36}$ である。

別解

解法2

方針

(1) は被積分関数を展開して原始関数へ代入し，積分値を $(c - a)^{2} (a + 2 c - 3 b) / 6$ と因数分解する。 $c \neq a$ の場合は合同式から $c \equiv a (m o d 3)$ を得て列挙する。(2)は自然対数 $A = \log a, B = \log b, C = \log c$ に直し，条件を $(B - C) (2 B - A) = 0$ と因数分解する。

解答

(1)

被積分関数を展開して積分すると $\begin{aligned} \int_{a}^{c} (x - a) (x - b) d x & = {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{a + b}{2} x^{2} + a b x]}_{a}^{c} \\ = \frac{(c - a)^{2} (a + 2 c - 3 b)}{6} . \end{aligned}$ したがって $c = a$ または $a + 2 c = 3 b$ である。

$c = a$ は $a, b$ を自由に選べるので36通り。次に $c \neq a$ とする。 $a + 2 c = 3 b$ から $a \equiv c (m o d 3)$ である。 $1 ≦ a, c ≦ 6$ ， $a \neq c$ を満たす同じ剰余類の順序対は $(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3)$ の6通りであり，各場合に $b = (a + 2 c) / 3$ は1から6の整数になる。

よって該当する出方は42通りで，確率は $\frac{42}{6^{3}} = \frac{7}{36} .$ (2) $A = \log a, B = \log b, C = \log c$ とおく。 $a, b ≧ 2$ なので $A, B \neq 0$ である。底の変換を使い，条件の両辺に $A B$ を掛けると $2 B^{2} - 2 B C + A C = A B .$ 整理して $(B - C) (2 B - A) = 0$ となる。

$B = C$ のとき $b = c$ であり， $a, b$ は2から6までの5通りずつだから25通り。 $2 B = A$ のとき $a = b^{2}$ であり，さいころの目では $(a, b) = (4, 2)$ だけで， $c$ は6通りである。両方に含まれる $(a, b, c) = (4, 2, 2)$ を1回引くと $25 + 6 - 1 = 30$ 通り。したがって確率は $\frac{30}{6^{3}} = \frac{5}{36} .$

総評

難度5、目安時間20分。定積分と対数条件を，さいころの目の整数条件へ変換する問題である。(1)は $\frac{(c - a)^{2} (a + 2 c - 3 b)}{6}$ まで因数分解し， $c = a$ の36通りと $c \neq a$ の6通りを分ける。(2)は対数の底を統一すると $(B - C) (2 B - A) = 0$ となり， $b = c$ または $a = b^{2}$ 。重複する $(4, 2, 2)$ を1つ引き，確率 $7 / 36, 5 / 36$ を別の列挙法でも確認した。

出典: 大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験数学（文系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問