大阪大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

1個のさいころを3回投げ，1回目，2回目，3回目に出る目をそれぞれ $a, b, c$ とする。

(1)

\int_{a}^{c} (x - a) (x - b) d x = 0

である確率を求めよ。

(2) $a, b$ が2以上であり，かつ

2 lo g_{a} b - 2 lo g_{a} c + lo g_{b} c = 1

である確率を求めよ。

出典：大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

(1) は $x - a = u$ と置いて積分区間を $0$ から $c - a$ に直し、 $c = a$ と $2 (c - a) = 3 (b - a)$ の2場合に分けて数える。後者は $a + 2 c = 3 b$ というさいころの目の整数条件なので、実際の組を列挙して重複を避ける。(2) は $u = lo g_{a} b$ 、 $v = lo g_{b} c$ とおいて $(1 - v) (2 u - 1) = 0$ に因数分解し、 $c = b$ の場合と $a = b^{2}$ の場合の重なりを1つだけ引く。

解法2

(1)は被積分関数を展開して原始関数へ代入し，積分値を $(c - a)^{2} (a + 2 c - 3 b) /6$ と因数分解する。 $c \neq = a$ の場合は合同式から $c \equiv a (mod 3)$ を得て列挙する。(2)は自然対数 $A = lo g a, B = lo g b, C = lo g c$ に直し，条件を $(B - C) (2 B - A) = 0$ と因数分解する。

解答

解法1

(1)

$u = x - a$ とおくと、 $x - b = u - (b - a)$ であり、

\int_{a}^{c} (x - a) (x - b) d x = \int_{0}^{c - a} u {u - (b - a)} d u

である。右辺は

[\frac{u ^{3}}{3} - \frac{b - a}{2} u^{2}]_{0}^{c - a} = (c - a)^{2} (\frac{c - a}{3} - \frac{b - a}{2})

となる。したがって条件は $c = a$ または $2 (c - a) = 3 (b - a)$ である。 $c = a$ の場合、 $a$ は6通り、 $b$ も6通りなので $36$ 通りである。次に $c \neq = a$ とする。このとき $2 (c - a) = 3 (b - a) ⟺ a + 2 c = 3 b$ であり、 $1 ≦ a, b, c ≦ 6$ を満たす組は $(1, 3, 4), (2, 4, 5), (3, 5, 6), (4, 2, 1), (5, 3, 2), (6, 4, 3)$ の6通りである。よって条件を満たす組は合計 $36 + 6 = 42$ 通りだから、求める確率は $\frac{42}{6 ^{3}} = \frac{7}{36}$ である。

(2)

条件に $lo g_{a} c$ と $lo g_{b} c$ が現れるので、 $a, b ≧ 2$ に注意する。そこで $u = lo g_{a} b, v = lo g_{b} c$ とおくと、底の変換より $lo g_{a} c = (lo g_{a} b) (lo g_{b} c) = uv$ である。与えられた条件は $2 u - 2 uv + v = 1$ すなわち $(1 - v) (2 u - 1) = 0$ と因数分解できる。 $v = 1$ のときは $lo g_{b} c = 1$ だから $c = b$ である。この場合、 $a, b$ はそれぞれ $2, 3, 4, 5, 6$ の5通りなので $25$ 通りである。 $2 u - 1 = 0$ のときは $lo g_{a} b = 1/2$ だから $b^{2} = a$ である。 $a, b$ がさいころの目で $a, b ≧ 2$ を満たすものは $(a, b) = (4, 2)$ だけであり、このとき $c$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の6通りである。ただし $(a, b, c) = (4, 2, 2)$ は $c = b$ の場合にも含まれるので、重複を1つ引く。

したがって条件を満たす組は $25 + 6 - 1 = 30$ 通りである。求める確率は $\frac{30}{6 ^{3}} = \frac{5}{36}$ である。

解法2

(1)

被積分関数を展開して積分すると

\int_{a}^{c} (x - a) (x - b) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{a + b}{2} x^{2} + ab x]_{a}^{c} = \frac{( c - a ) ^{2} ( a + 2 c - 3 b )}{6} .

したがって

c = a

または

a + 2 c = 3 b

である。

$c = a$ は $a, b$ を自由に選べるので36通り。次に $c \neq = a$ とする。 $a + 2 c = 3 b$ から

a \equiv c (mod 3)

である。 $1 ≦ a, c ≦ 6$ ， $a \neq = c$ を満たす同じ剰余類の順序対は

(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3)

の6通りであり，各場合に $b = (a + 2 c) /3$ は1から6の整数になる。

よって該当する出方は42通りで，確率は

\frac{42}{6 ^{3}} = \frac{7}{36} .

(2)

A = lo g a, B = lo g b, C = lo g c

とおく。 $a, b ≧ 2$ なので $A, B \neq = 0$ である。底の変換を使い，条件の両辺に $A B$ を掛けると

2 B^{2} - 2 B C + A C = A B .

整理して

(B - C) (2 B - A) = 0

となる。

$B = C$ のとき $b = c$ であり， $a, b$ は2から6までの5通りずつだから25通り。 $2 B = A$ のとき $a = b^{2}$ であり，さいころの目では

(a, b) = (4, 2)

だけで， $c$ は6通りである。両方に含まれる $(a, b, c) = (4, 2, 2)$ を1回引くと

25 + 6 - 1 = 30

通り。したがって確率は

\frac{30}{6 ^{3}} = \frac{5}{36} .

大阪大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2018年度
文系数学第2問