阪大 2019年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

$u = x + y$ とおいて三角関数を合成し、条件を $u$ の区間へ直す。得られた帯と正方形の共通部分を図示する。(2)は $2 x + y = u + x$ と表し、 $u$ と $x$ を同時に端まで動かせる点を確認する。

解答

(1)
$u = x + y$ とおくと $0 ≦ u ≦ 2 π$ である。また $2 \sin u - 2 \cos u = 2 \sqrt{2} \sin (u - \frac{π}{4})$ だから、与えられた不等式は $\sin (u - \frac{π}{4}) ≧ \frac{1}{2}$ となる。 $- π / 4 ≦ u - π / 4 ≦ 7 π / 4$ の範囲で解けば $\frac{5 π}{12} ≦ u ≦ \frac{13 π}{12}$ を得る。したがって $D = {(x, y) ∣ 0 ≦ x, y ≦ π, \frac{5 π}{12} ≦ x + y ≦ \frac{13 π}{12}}$ である。

領域は、図の2直線に挟まれた六角形である。

(2) $2 x + y = (x + y) + x = u + x$ である。領域内では $\frac{5 π}{12} ≦ u ≦ \frac{13 π}{12}, 0 ≦ x ≦ π$ だから $\frac{5 π}{12} ≦ u + x ≦ \frac{25 π}{12}$ である。左の等号は $(x, y) = (0, 5 π / 12)$ 、右の等号は $(x, y) = (π, π / 12)$ で実現する。よって $最小値 \frac{5 π}{12}, 最大値 \frac{25 π}{12}$ である。

別解

解法2

方針

三角関数の条件から六角形の6頂点を求め、線形関数 $2 x + y$ を各頂点で評価する。凸多角形上の線形関数は頂点で最大・最小を取る。

解答

(1)
解法1と同じ合成により、領域は正方形 $0 ≦ x, y ≦ π$ と帯 $\frac{5 π}{12} ≦ x + y ≦ \frac{13 π}{12}$ の共通部分である。境界どうしの交点を順に並べると $\begin{array}{c} (\frac{5 π}{12}, 0), (π, 0), (π, \frac{π}{12}), \\ (\frac{π}{12}, π), (0, π), (0, \frac{5 π}{12}) \end{array}$ となる。これらを結んだ六角形が $D$ である。

(2)
各頂点で $2 x + y$ を調べる。 $\begin{array}{cc} (x, y) & 2 x + y \\ (5 π / 12, 0) & 5 π / 6 \\ (π, 0) & 2 π \\ (π, π / 12) & 25 π / 12 \\ (π / 12, π) & 7 π / 6 \\ (0, π) & π \\ (0, 5 π / 12) & 5 π / 12 \end{array}$ 線形関数は凸多角形上で頂点に最大値・最小値をもつ。表より $最小値 \frac{5 π}{12}, 最大値 \frac{25 π}{12}$ である。

総評

難度5、目安時間16分。三角関数の合成後、 $x + y$ の動く範囲を踏まえて正しい解区間を選ぶ。図では正方形と2本の斜線の交点を明示する。(2)は $2 x + y = (x + y) + x$ と見る方法と、六角形の頂点を調べる方法の双方で検算でき、端点で等号が実現することまで書けば十分である。

出典: 大阪大学 2019年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問