大阪大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，連立不等式

0 ≦ x ≦ π, 0 ≦ y ≦ π, 2 sin (x + y) - 2 cos (x + y) ≧ 2

の表す領域をDとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) Dを図示せよ．

(2) 点 $(x, y)$ が領域Dを動くとき， $2 x + y$ の最大値と最小値を求めよ．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

$u = x + y$ とおいて三角関数を合成し、条件を $u$ の区間へ直す。得られた帯と正方形の共通部分を図示する。(2)は $2 x + y = u + x$ と表し、 $u$ と $x$ を同時に端まで動かせる点を確認する。

解法2

三角関数の条件から六角形の6頂点を求め、線形関数 $2 x + y$ を各頂点で評価する。凸多角形上の線形関数は頂点で最大・最小を取る。

解答

解法1

(1)

$u = x + y$ とおくと

0 ≦ u ≦ 2 π

である。また

2 sin u - 2 cos u = 22 sin (u - \frac{π}{4})

だから、与えられた不等式は

sin (u - \frac{π}{4}) ≧ \frac{1}{2}

となる。 $- π /4 ≦ u - π /4 ≦ 7 π /4$ の範囲で解けば

\frac{5 π}{12} ≦ u ≦ \frac{13 π}{12}

を得る。したがって

D = {(x, y) 0 ≦ x, y ≦ π, \frac{5 π}{12} ≦ x + y ≦ \frac{13 π}{12}}

である。

領域は、図の2直線に挟まれた六角形である。

(2)

2 x + y = (x + y) + x = u + x

である。領域内では

\frac{5 π}{12} ≦ u ≦ \frac{13 π}{12}, 0 ≦ x ≦ π

だから

\frac{5 π}{12} ≦ u + x ≦ \frac{25 π}{12}

である。左の等号は $(x, y) = (0, 5 π /12)$ 、右の等号は $(x, y) = (π, π /12)$ で実現する。よって

最小値 \frac{5 π}{12}, 最大値 \frac{25 π}{12}

である。

解法2

(1)

解法1と同じ合成により、領域は正方形

0 ≦ x, y ≦ π

と帯

\frac{5 π}{12} ≦ x + y ≦ \frac{13 π}{12}

の共通部分である。境界どうしの交点を順に並べると

(\frac{5 π}{12}, 0), (π, 0), (π, \frac{π}{12}), (\frac{π}{12}, π), (0, π), (0, \frac{5 π}{12})

となる。これらを結んだ六角形が $D$ である。

(2)

各頂点で $2 x + y$ を調べる。

(x, y) (5 π /12, 0) (π, 0) (π, π /12) (π /12, π) (0, π) (0, 5 π /12) 2 x + y 5 π /6 2 π 25 π /12 7 π /6 π 5 π /12

線形関数は凸多角形上で頂点に最大値・最小値をもつ。表より

最小値 \frac{5 π}{12}, 最大値 \frac{25 π}{12}

である。

大阪大学 2019年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2019年度
文系数学第1問