大阪大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

$p$ を実数の定数とする． $x$ の2次方程式

x^{2} - (2 p + ∣ p ∣ - ∣ p + 1∣ + 1) x + \frac{1}{2} (2 p + 3∣ p ∣ - ∣ p + 1∣ - 1) = 0

について以下の問いに答えよ．

(1) この2次方程式は実数解をもつことを示せ．

(2) この2次方程式が異なる2つの実数解 $α$ ， $β$ をもち，かつ $α^{2} + β^{2} ≦ 1$ となるような定数 $p$ の値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

$p < - 1, - 1 ≦ p < 0, p ≧ 0$ の3区間で絶対値を外す。各区間では方程式が因数分解できるので、実数解の存在を示すと同時に根を求め、その平方和と異なる2根の条件を調べる。

解法2

方程式を $x^{2} - S x + P = 0$ と見て、3区間ごとに解の和 $S$ 、積 $P$ 、判別式、平方和 $S^{2} - 2 P$ を表にする。根を個別に書かず、異なる2実根と平方和の条件を同時に処理する。

解答

解法1

(1)

絶対値を外すと、方程式は

⎩ ⎨ ⎧ x {x - (2 p + 2)} = 0 x^{2} - (p + 1) = 0 (x - 1) {x - (2 p - 1)} = 0 (p < - 1), (- 1 ≦ p < 0), (p ≧ 0)

となる。したがって根はそれぞれ

⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 p + 2 \pm p + 1 1, 2 p - 1 (p < - 1), (- 1 ≦ p < 0), (p ≧ 0)

であり、すべて実数である。よって任意の実数 $p$ に対して実数解をもつ。

(2)

$p < - 1$ では2根は自動的に異なり、

α^{2} + β^{2} = (2 p + 2)^{2} ≦ 1

より

- \frac{3}{2} ≦ p < - 1

を得る。

$- 1 ≦ p < 0$ では、異なる2根をもつ条件は $p > - 1$ である。また

α^{2} + β^{2} = 2 (p + 1) ≦ 1

だから

- 1 < p ≦ - \frac{1}{2}

となる。

$p ≧ 0$ では

α^{2} + β^{2} = 1 + (2 p - 1)^{2} ≦ 1

より $p = 1/2$ である。このとき根は $1, 0$ で異なる。

以上より

- \frac{3}{2} ≦ p < - 1, - 1 < p ≦ - \frac{1}{2}, p = \frac{1}{2}

である。

解法2

(1)

解の和を $S$ 、積を $P$ 、判別式を $Δ$ とする。絶対値を外して整理すると

p の範囲 p < - 1 - 1 ≦ p < 0 p ≧ 0 S 2 p + 2 0 2 p P 0 - (p + 1) 2 p - 1 Δ 4 (p + 1)^{2} 4 (p + 1) 4 (p - 1)^{2} S^{2} - 2 P 4 (p + 1)^{2} 2 (p + 1) 1 + (2 p - 1)^{2}

となる。各範囲で $Δ ≧ 0$ だから、方程式は常に実数解をもつ。

(2)

異なる2実根の条件は $Δ > 0$ 、平方和の条件は

α^{2} + β^{2} = S^{2} - 2 P ≦ 1

である。表の各行へ適用すると

p の範囲 p < - 1 - 1 ≦ p < 0 p ≧ 0 Δ > 0 常に成立 p > - 1 p \neq = 1 S^{2} - 2 P ≦ 1 4 (p + 1)^{2} ≦ 1 2 (p + 1) ≦ 1 (2 p - 1)^{2} ≦ 0 共通範囲 [- 3/2, - 1) (- 1, - 1/2] {1/2}

となる。

よって求める範囲は

[- \frac{3}{2}, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}] \cup {\frac{1}{2}}

である。

大阪大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2019年度
文系数学第2問