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大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

pを実数の定数とする．xの2次方程式x2−(2p+∣p∣−∣p+1∣+1)x+12(2p+3∣p∣−∣p+1∣−1)=0について以下の問いに答えよ．

(1) この2次方程式は実数解をもつことを示せ．

(2) この2次方程式が異なる2つの実数解α，βをもち，
かつα2+β2≦1となるような定数pの値の範囲を求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安20分

方程式・不等式、数と式　絶対値の処理、判別式、場合分け

方針

p<−1,−1≦p<0,p≧0 の3区間で絶対値を外す。各区間では方程式が因数分解できるので、実数解の存在を示すと同時に根を求め、その平方和と異なる2根の条件を調べる。

解答

(1)
絶対値を外すと、方程式は{x{x−(2p+2)}=0(p<−1),x2−(p+1)=0(−1≦p<0),(x−1){x−(2p−1)}=0(p≧0)となる。したがって根はそれぞれ{0, 2p+2(p<−1),±p+1(−1≦p<0),1, 2p−1(p≧0)であり、すべて実数である。よって任意の実数 p に対して実数解をもつ。

(2)
p<−1 では2根は自動的に異なり、α2+β2=(2p+2)2≦1より−32≦p<−1を得る。

−1≦p<0 では、異なる2根をもつ条件は p>−1 である。またα2+β2=2(p+1)≦1だから−1<p≦−12となる。

p≧0 ではα2+β2=1+(2p−1)2≦1より p=1/2 である。このとき根は 1,0 で異なる。

以上より−32≦p<−1,−1<p≦−12,p=12である。

別解

解法2

方針

方程式を x2−Sx+P=0 と見て、3区間ごとに解の和 S、積 P、判別式、平方和 S2−2P を表にする。根を個別に書かず、異なる2実根と平方和の条件を同時に処理する。

解答

(1)
解の和を S、積を P、判別式を Δ とする。絶対値を外して整理するとp の範囲SPΔS2−2Pp<−12p+204(p+1)24(p+1)2−1≦p<00−(p+1)4(p+1)2(p+1)p≧02p2p−14(p−1)21+(2p−1)2となる。各範囲で Δ≧0 だから、方程式は常に実数解をもつ。

(2)
異なる2実根の条件は Δ>0、平方和の条件はα2+β2=S2−2P≦1である。表の各行へ適用するとp の範囲Δ>0S2−2P≦1共通範囲p<−1常に成立4(p+1)2≦1[−3/2,−1)−1≦p<0p>−12(p+1)≦1(−1,−1/2]p≧0p≠1(2p−1)2≦0{1/2}となる。

よって求める範囲は[−32,−1)∪(−1,−12]∪{12}である。

総評

難度6、目安時間20分。絶対値の切れ目は p=−1,0 である。根を直接求める方法では端点の重解を見落とさない。対称式の別解では、α2+β2=S2−2P と判別式を同じ表で管理できる。特に p=−1 は重解なので除き、p=1/2 では根 1,0 が異なることを確認する。

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出典: 大阪大学 2019年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。