大阪大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
放物線上の点 $(t,t^2)$ における接線は$$y=2tx-t^2$$である。これが $A(a,-1)$ を通る条件は$$t^2-2at-1=0$$であり，判別式は $4(a^2+1)>0$ である。したがって相異なる2つの接点があり，接線はちょうど2本存在する。

(2)
2根を $u,v$ とすると$$u+v=2a,uv=-1$$である。接点 $P(u,u^2),Q(v,v^2)$ を結ぶ直線は$$y-u^2=(u+v)(x-u)$$だから$$y=(u+v)x-uv=2ax+1$$となる。

(3)
点と直線の距離公式から$$L=\frac{2(a^2+1)}{\sqrt{4a^2+1}}$$である。さらに$$L^2-3=\frac{(2a^2-1{)}^2}{4a^2+1}\geqq 0$$なので $L$ の最小値は $\sqrt{3}$ である。等号条件から$$a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$を得る。

点 $A(a,-1)$ を通る傾き $m$ の直線を先に置き，放物線との交点方程式が重解をもつ条件で接線を特徴づける。2本の傾きから接点の横座標の和と積を復元し，距離は平方完成型の恒等式で評価する。

(1)
点 $A(a,-1)$ を通る傾き $m$ の直線$$y+1=m(x-a)$$が放物線に接する条件は，交点方程式$$x^2-mx+ma+1=0$$が重解をもつことである。したがって$$m^2-4am-4=0$$となる。この $m$ の方程式の判別式は $16(a^2+1)>0$ だから，接線はちょうど2本ある。

(2)
2つの傾きを $m_1,m_2$，接点の横座標を $u,v$ とすると $u=m_1\mathrm{/}2,v=m_2\mathrm{/}2$ であり，$$m_1+m_2=4a,m_1{m}_2=-4⟹u+v=2a,uv=-1$$である。よって接点弦は$$y=(u+v)x-uv=2ax+1$$となる。

(3)
距離公式から$$L=\frac{2(a^2+1)}{\sqrt{4a^2+1}},L^2-3=\frac{(2a^2-1{)}^2}{4a^2+1}\geqq 0$$である。したがって$$L_{\min }=\sqrt{3},a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$を得る。