大阪大学 2021年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とする． $C$ を放物線 $y = x^{2}$ とする．

(1) 点 $A (a, - 1)$ を通るような $C$ の接線は，ちょうど2本存在することを示せ．

(2) 点 $A (a, - 1)$ から $C$ に2本の接線を引き，その接点を $P$ ， $Q$ とする．直線 $P Q$ の方程式は $y = 2 a x + 1$ であることを示せ．

(3) 点 $A (a, - 1)$ と直線 $y = 2 a x + 1$ の距離を $L$ とする． $a$ が実数全体を動くとき， $L$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1（接点を媒介して接点弦を求める）

接点の横座標を媒介変数にして接線を一般形で書く。点 $A$ を通る条件の判別式で2本性を示し，2根の和と積から接点弦を求める。最後は距離の2乗を $a^{2}$ の関数として最小化する。

解法2（点Aを通る直線の傾きから判別する）

点 $A (a, - 1)$ を通る傾き $m$ の直線を先に置き，放物線との交点方程式が重解をもつ条件で接線を特徴づける。2本の傾きから接点の横座標の和と積を復元し，距離は平方完成型の恒等式で評価する。

解答

解法1（接点を媒介して接点弦を求める）

(1)

放物線上の点 $(t, t^{2})$ における接線は

y = 2 t x - t^{2}

である。これが $A (a, - 1)$ を通る条件は

t^{2} - 2 a t - 1 = 0

であり，判別式は $4 (a^{2} + 1) > 0$ である。したがって相異なる2つの接点があり，接線はちょうど2本存在する。

(2)

2根を $u, v$ とすると

u + v = 2 a, uv = - 1

である。接点 $P (u, u^{2}), Q (v, v^{2})$ を結ぶ直線は

y - u^{2} = (u + v) (x - u)

だから

y = (u + v) x - uv = 2 a x + 1

となる。

(3)

点と直線の距離公式から

L = \frac{2 ( a ^{2} + 1 )}{4 a ^{2} + 1}

である。さらに

L^{2} - 3 = \frac{( 2 a ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 a ^{2} + 1} ≧ 0

なので $L$ の最小値は $3$ である。等号条件から

a = \pm \frac{1}{2}

を得る。

解法2（点Aを通る直線の傾きから判別する）

(1)

点 $A (a, - 1)$ を通る傾き $m$ の直線

y + 1 = m (x - a)

が放物線に接する条件は，交点方程式

x^{2} - m x + ma + 1 = 0

が重解をもつことである。したがって

m^{2} - 4 am - 4 = 0

となる。この $m$ の方程式の判別式は $16 (a^{2} + 1) > 0$ だから，接線はちょうど2本ある。

(2)

2つの傾きを $m_{1}, m_{2}$ ，接点の横座標を $u, v$ とすると $u = m_{1} /2, v = m_{2} /2$ であり，

m_{1} + m_{2} = 4 a, m_{1} m_{2} = - 4 ⟹ u + v = 2 a, uv = - 1

である。よって接点弦は

y = (u + v) x - uv = 2 a x + 1

となる。

(3)

距離公式から

L = \frac{2 ( a ^{2} + 1 )}{4 a ^{2} + 1}, L^{2} - 3 = \frac{( 2 a ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 a ^{2} + 1} ≧ 0

である。したがって

L_{m i n} = 3, a = \pm \frac{1}{2}

を得る。

大阪大学 2021年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（接点を媒介して接点弦を求める）

解法2（点Aを通る直線の傾きから判別する）

解答

解法1（接点を媒介して接点弦を求める）

(1)

(2)

(3)

解法2（点Aを通る直線の傾きから判別する）

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2021年度
文系数学第1問