大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第1問

$s=\sin \theta$ とおく。すると $-1\leqq s\leqq 1$ であり、$$b=\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =1-2s^2$$ である。また、連立等式のもう一方から $as=b$ を得る。

ここで $s=0$ とすると、上の式から $b=1$ である一方、$as=0$ となる。これは $as=b$ に反する。したがって必ず $s\mathrm{\ne }0$ である。 $s\mathrm{\ne }0$ なので $$a=\frac{b}{s}$$ と書ける。また $b=1-2s^2$ より $$s^2=\frac{1-b}{2}$$ である。$s^2>0$ だから $b<1$ であり、さらに $0<s^2\leqq 1$ から $-1\leqq b<1$ である。$s$ を消去すると $$a^2=\frac{b^2}{s^2}=\frac{2b^2}{1-b}$$ を得る。よって、求める点 $(a,b)$ は少なくとも $$-1\leqq b<1,a^2=\frac{2b^2}{1-b}$$ をみたす。

逆に、$-1\leqq b<1$ かつ $$a^2=\frac{2b^2}{1-b}$$ をみたす点をとる。$b\mathrm{\ne }0$ のときは $a\mathrm{\ne }0$ であり、$$s=\frac{b}{a}$$ とおけば $$s^2=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1-b}{2}$$ となる。$-1\leqq b<1$ より $0<s^2\leqq 1$ であるから、ある実数 $\theta$ を用いて $\sin \theta =s$ とできる。このとき $as=b$ かつ $1-2s^2=b$ が成り立つ。 $b=0$ のときは方程式から $a=0$ である。例えば $$s=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ とすれば $1-2s^2=0$ かつ $as=0$ であるから、この場合も実現できる。

したがって存在範囲は $$-1\leqq b<1,a^2=\frac{2b^2}{1-b}$$ で表される曲線である。図示すると、$b$ 軸に関して対称で、$b=-1$ では $(1,-1),(-1,-1)$ を通り、$b=0$ では原点 $(0,0)$ を通る。また $b\to 1-0$ のとき $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ となるので、直線 $b=1$ は水平漸近線であり、$b=1$ 自体は含まれない。

$s=\sin \theta$ を消去せず，$(a,b)=((1-2s^2)\mathrm{/}s,1-2s^2)$ と媒介表示する。$s>0$ で $a=1\mathrm{/}s-2s$，$b=1-2s^2$ の増減と通過点を調べ，$s<0$ の枝は $b$ 軸対称として得る。水平漸近線と端点を含む完成図まで示す。

$s=\sin \theta$ とおく。$s=0$ なら $\cos 2\theta =1$ である一方 $a\sin \theta =0$ となり，同じ $b$ にはならない。よって $s\mathrm{\ne }0$ である。

条件は$$(a,b)=(\frac{1-2s^2}{s},1-2s^2)(-1\leqq s\leqq 1,s\mathrm{\ne }0)$$と媒介表示できる。$0<s\leqq 1$ では$$a=\frac{1}{s}-2s,b=1-2s^2$$であり，$s$ の増加とともに $a,b$ はともに単調減少する。$s\to +0$ で $(a,b)\to (+\mathrm{\infty },1)$，$s=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で $(a,b)=(0,0)$，$s=1$ で $(a,b)=(-1,-1)$ となる。

$-1\leqq s<0$ の部分では $b$ は $s^2$ だけで決まり，$a$ の符号だけが反転するので，正の $s$ の枝を $b$ 軸に関して対称移動した枝になる。したがって存在範囲は次図の実線部分である。点 $(\pm 1,-1)$ と原点は含み，直線 $b=1$ は漸近線であって含まない。

媒介表示から $s^2=(1-b)\mathrm{/}2$ を消去すれば$$-1\leqq b<1,a^2=\frac{2b^2}{1-b}$$とも表せる。