阪大 2023年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

底の変換で全ての対数を $t = \log_{2} x$ に統一し、 $y = - t^{3} + 3 a t^{2}$ に落とす。範囲 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ は $- 1 ≦ t ≦ 3$ である。あとは3次関数 $F (t) = t^{2} (3 a - t)$ の端点値と停留点値を比較するが、停留点 $t = 2 a$ が区間に入るかどうか、また $F (- 1), F (2 a), F (3)$ の大小が変わる $a = 1, \frac{3}{2}$ を明確に分ける。

解答

(1) $t = \log_{2} x$ とおく。底の変換公式より $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} \frac{1}{2}} = - t, \log_{\sqrt{2}} x = \frac{t}{\frac{1}{2}} = 2 t, \log_{4} x^{3} = \frac{\log_{2} x^{3}}{\log_{2} 4} = \frac{3 t}{2}$ である。したがって $y = (- t)^{3} + a (2 t) (\frac{3}{2} t) = - t^{3} + 3 a t^{2}$ となる。

(2) $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ であり、 $2^{t} = x$ は単調増加だから $- 1 ≦ t ≦ 3$ である。 $F (t) = - t^{3} + 3 a t^{2}$ とおくと、求める最大値は $- 1 ≦ t ≦ 3$ における $F (t)$ の最大値である。

微分すると $F^{'} (t) = - 3 t^{2} + 6 a t = 3 t (2 a - t)$ である。 $a > 0$ なので、 $t = 0$ と $t = 2 a$ が停留点である。ただし $F (0) = 0$ であり、端点値 $F (- 1) = 1 + 3 a > 0$ があるため、 $t = 0$ は最大値を与えない。比較すべき値は $F (- 1) = 1 + 3 a, F (3) = 27 (a - 1), F (2 a) = 4 a^{3}$ である。なお $F (2 a)$ は $0 < 2 a ≦ 3$ 、すなわち $0 < a ≦ \frac{3}{2}$ のときだけ候補になる。

まず $0 < a ≦ 1$ とする。このとき $F (3) = 27 (a - 1) ≦ 0$ であり、 $F (- 1) - F (2 a) = 1 + 3 a - 4 a^{3} = (1 - a) (4 a^{2} + 4 a + 1) ≧ 0$ である。よって $M = F (- 1) = 1 + 3 a$ である。

次に $1 ≦ a ≦ \frac{3}{2}$ とする。この範囲では $2 a$ が区間内にある。また $F (2 a) - F (- 1) = 4 a^{3} - 3 a - 1 = (a - 1) (4 a^{2} + 4 a + 1) ≧ 0$ であり、さらに $F (2 a) - F (3) = 4 a^{3} - 27 (a - 1) = (a + 3) (2 a - 3)^{2} ≧ 0$ である。したがって $M = F (2 a) = 4 a^{3}$ である。

最後に $a ≧ \frac{3}{2}$ とする。 $2 a ≧ 3$ なので、区間内では $t = 2 a$ を内部の最大候補として考える必要がない。端点を比較すると $F (3) - F (- 1) = 27 (a - 1) - (1 + 3 a) = 24 a - 28 > 0$ であるから、最大値は $t = 3$ でとられ、 $M = F (3) = 27 (a - 1)$ となる。

以上より $M = {\begin{cases} 1 + 3 a & (0 < a ≦ 1), \\ 4 a^{3} & (1 ≦ a ≦ \frac{3}{2}), \\ 27 (a - 1) & (a ≧ \frac{3}{2}) \end{cases}$ である。境界 $a = 1$ では前2式が一致し、 $a = \frac{3}{2}$ では後2式が一致するので、この表示で矛盾はない。

別解

解法2（候補との差を因数分解する方法）

方針

(1) で $F (t) = - t^{3} + 3 a t^{2}$ ， $- 1 ≦ t ≦ 3$ を得る。(2) では増減表を作らず， $a$ の3範囲ごとに予想される最大値と $F (t)$ の差を因数分解する。差が区間全体で非負になることを示し，等号点から最大値を確定する。

解答

(1)
$t = \log_{2} x$ とおくと $\log_{1 / 2} x = - t, \log_{\sqrt{2}} x = 2 t, \log_{4} x^{3} = \frac{3}{2} t$ であるから $y = F (t) = - t^{3} + 3 a t^{2} .$ また $1 / 2 ≦ x ≦ 8$ は $- 1 ≦ t ≦ 3$ に対応する。

(2)
まず $0 < a ≦ 1$ とする。このとき $\begin{aligned} 1 + 3 a - F (t) & = t^{3} - 3 a t^{2} + 1 + 3 a \\ = (t + 1) {t^{2} - (3 a + 1) t + 3 a + 1} . \end{aligned}$ 二次式の判別式は $(3 a + 1)^{2} - 4 (3 a + 1) = 3 (3 a + 1) (a - 1) ≦ 0$ である。また $t + 1 ≧ 0$ なので $F (t) ≦ 1 + 3 a$ であり，等号は $t = - 1$ で成り立つ。

次に $1 ≦ a ≦ 3 / 2$ とする。このとき $4 a^{3} - F (t) = t^{3} - 3 a t^{2} + 4 a^{3} = (t - 2 a)^{2} (t + a) ≧ 0$ である。実際， $- 1 ≦ t ≦ 3$ と $a ≧ 1$ から $t + a ≧ 0$ である。等号は区間内の $t = 2 a$ で成り立つ。

最後に $a ≧ 3 / 2$ とする。 $\begin{matrix} 27 (a - 1) - F (t) = (3 - t) {- t^{2} + 3 (a - 1) t + 9 (a - 1)} . & (1) \end{matrix}$ 右の二次式は下向きに開く放物線なので，区間での最小値は端点のいずれかでとる。両端では $6 a - 7 > 0, 18 a - 27 ≧ 0$ となるので， $- 1 ≦ t ≦ 3$ で非負である。また $3 - t ≧ 0$ だから (1) は非負で，等号は $t = 3$ で成り立つ。

したがって $M = {\begin{cases} 1 + 3 a & (0 < a ≦ 1), \\ 4 a^{3} & (1 ≦ a ≦ 3 / 2), \\ 27 (a - 1) & (a ≧ 3 / 2) \end{cases}$ である。

総評

対数の底をそろえた後は、区間付き3次関数の最大値問題になる。目安時間は16〜20分。停留点 $t = 2 a$ が常に候補になるわけではなく、 $2 a ≦ 3$ の確認が必要である。大小比較では $a = 1$ と $a = \frac{3}{2}$ が自然に出るため、因数分解した差を示すと答案の説得力が高い。別解として大きく違う方法は作りにくく、グラフの増減整理と端点・停留点比較が最短である。公式出題意図は対数の基本性質と三次関数の最大値である。増減表による標準解法に加え，候補との差の因数分解で区間全体の上界を直接証明できる。

出典: 大阪大学令和5年度一般選抜（前期日程）数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第2問

方針

解答

別解

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解答

総評

大阪大学 2023年度前期日程一般選抜文系数学第2問