問題
正の実数，に対して，
とする．
(1) とするとき，を，を用いて表せ．
(2) がの範囲を動くとき，の最大値をを用いて表せ．
方針
解法1（標準解法）
底の変換で全ての対数を に統一し、 に落とす。範囲 は である。あとは3次関数 の端点値と停留点値を比較するが、停留点 が区間に入るかどうか、また の大小が変わる を明確に分ける。
解法2（候補との差を因数分解する方法）
(1) で ， を得る。(2) では増減表を作らず， の3範囲ごとに予想される最大値と の差を因数分解する。差が区間全体で非負になることを示し，等号点から最大値を確定する。
解答
解法1（標準解法）
(1)
とおく。底の変換公式より
である。したがって となる。
(2)
であり、 は単調増加だから である。 とおくと、求める最大値は における の最大値である。
微分すると である。 なので、 と が停留点である。ただし であり、端点値 があるため、 は最大値を与えない。比較すべき値は である。なお は 、すなわち のときだけ候補になる。
まず とする。このとき であり、 である。よって である。
次に とする。この範囲では が区間内にある。また であり、さらに である。したがって である。
最後に とする。 なので、区間内では を内部の最大候補として考える必要がない。端点を比較すると であるから、最大値は でとられ、 となる。
以上より
である。境界 では前2式が一致し、 では後2式が一致するので、この表示で矛盾はない。
解法2（候補との差を因数分解する方法）
(1)
とおくと
であるから
また は に対応する。
(2)
まず とする。このとき
二次式の判別式は
である。また なので であり，等号は で成り立つ。
次に とする。このとき
である。実際， と から である。等号は区間内の で成り立つ。
最後に とする。
右の二次式は下向きに開く放物線なので，区間での最小値は端点のいずれかでとる。両端では
となるので， で非負である。また だから (1) は非負で，等号は で成り立つ。
したがって
である。