大阪大学 2026年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の実数の列 ${a_{n}}$ が次の条件によって定められている．

a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} = \frac{3 ^{n} a _{n + 1}^{2}}{a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

(1) $b_{n} = lo g_{2} a_{n + 1} - lo g_{2} a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ と定めるとき，数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：大阪大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

正の数列なので，まず対数を取って積と商を和と差に直す。 $A_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおけば，求めたい $b_{n}$ は $A_{n}$ の階差である。漸化式を $A_{n + 2} - A_{n + 1}$ の形に直すと， $b_{n}$ 自身の階差が $n lo g_{2} 3$ になる。最後に $A_{n} = A_{1} + \sum_{j = 1}^{n - 1} b_{j}$ と戻し， $\sum j (j - 1)$ の計算と $a_{n} = 2^{A_{n}}$ への復元を丁寧に行う。

解法2（素因数の指数を直接追う方法）

漸化式に現れる素数は $2, 3$ だけなので， $a_{n} = 2^{u_{n}} 3^{v_{n}}$ と表し，それぞれの指数の階差を求める。対数漸化式を一度に扱う解法1に対し，こちらは $2$ と $3$ の寄与を分離するため，一般項の構造を直接確認できる。

解答

解法1

(1)

すべての $a_{n}$ は正であるから，対数を取ることができる。そこで $A_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおく。条件 $a_{n + 2} = 3^{n} a_{n + 1}^{2} / a_{n}$ の両辺の底を $2$ とする対数を取ると $A_{n + 2} = n lo g_{2} 3 + 2 A_{n + 1} - A_{n}$ である。ここで $b_{n} = A_{n + 1} - A_{n}$ だから，両辺から $A_{n + 1}$ を引いて $b_{n + 1} = A_{n + 2} - A_{n + 1} = b_{n} + n lo g_{2} 3$ を得る。また $b_{1} = lo g_{2} a_{2} - lo g_{2} a_{1} = lo g_{2} 2 - lo g_{2} 1 = 1$ である。したがって $n ≧ 1$ に対して $b_{n} = b_{1} + \sum_{j = 1}^{n - 1} j lo g_{2} 3 = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2} lo g_{2} 3$ である。よって $b_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2} lo g_{2} 3$ である。

(2)

$A_{1} = lo g_{2} a_{1} = 0$ であり， $b_{j} = A_{j + 1} - A_{j}$ だから，階差を足し合わせると $A_{n} - A_{1} = \sum_{j = 1}^{n - 1} (A_{j + 1} - A_{j}) = \sum_{j = 1}^{n - 1} b_{j}$ である。したがって $A_{n} = \sum_{j = 1}^{n - 1} (1 + \frac{j ( j - 1 )}{2} lo g_{2} 3)$ となる。ここで $\sum_{j = 1}^{n - 1} 1 = n - 1$ であり，また

j = 1 \sum n - 1 j (j - 1) = j = 1 \sum n - 1 (j^{2} - j) = \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{3}

である。よって $A_{n} = n - 1 + \frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6} lo g_{2} 3$ である。したがって

a_{n} = 2^{A_{n}} = 2^{n - 1} \cdot 2^{\frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6} l o g_{2} 3} = 2^{n - 1} 3^{\frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6}}

となる。ゆえに $a_{n} = 2^{n - 1} 3^{\frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6}}$ である。 $n = 1, 2$ を代入するとそれぞれ $1, 2$ となり，初期条件とも一致する。

解法2（素因数の指数を直接追う方法）

(1)

すべての $a_{n}$ は正であり，初期値と漸化式から $2, 3$ 以外の素因数は現れない。そこで

a_{n} = 2^{u_{n}} 3^{v_{n}}

と書く。初期値は

(u_{1}, u_{2}) = (0, 1), (v_{1}, v_{2}) = (0, 0)

である。漸化式の両辺で $2, 3$ の指数を比較すると

u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} - u_{n}, v_{n + 2} = n + 2 v_{n + 1} - v_{n}

を得る。

まず $u_{n + 1} - u_{n}$ は一定で，初項は $u_{2} - u_{1} = 1$ だから

u_{n} = n - 1

である。次に $d_{n} = v_{n + 1} - v_{n}$ とおくと

d_{n + 1} = d_{n} + n, d_{1} = 0

である。したがって

d_{n} = k = 1 \sum n - 1 k = \frac{n ( n - 1 )}{2} .

よって

v_{n} = j = 1 \sum n - 1 d_{j} = \frac{1}{2} j = 1 \sum n - 1 j (j - 1) = \frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6} .

(2)

以上から

a_{n} = 2^{n - 1} 3^{\frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6}} .

また

b_{n} = lo g_{2} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = (u_{n + 1} - u_{n}) + (v_{n + 1} - v_{n}) lo g_{2} 3 = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2} lo g_{2} 3.

したがって

b_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2} lo g_{2} 3, a_{n} = 2^{n - 1} 3^{\frac{( n - 1 ) n ( n - 2 )}{6}} .

大阪大学 2026年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（素因数の指数を直接追う方法）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（素因数の指数を直接追う方法）

(1)

(2)

大阪大学 2026年度
文系数学第1問