大阪大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
すべての $a_n$ は正であるから，対数を取ることができる。そこで $A_n={\log }_2{a}_n$ とおく。条件 $$a_{n+2}=3^n{a}_{n+1}^2\mathrm{/}{a}_n$$ の両辺の底を $2$ とする対数を取ると $$A_{n+2}=n{\log }_{2}3+2A_{n+1}-A_n$$ である。ここで $b_n=A_{n+1}-A_n$ だから，両辺から $A_{n+1}$ を引いて $$b_{n+1}=A_{n+2}-A_{n+1}=b_n+n{\log }_{2}3$$ を得る。また $$b_1={\log }_2{a}_2-{\log }_2{a}_1={\log }_{2}2-{\log }_{2}1=1$$ である。したがって $n\geqq 1$ に対して $$b_n=b_1+\sum _{j=1}^{n-1}j{\log }_{2}3=1+\frac{n(n-1)}{2}{\log }_{2}3$$ である。よって $$b_n=1+\frac{n(n-1)}{2}{\log }_{2}3$$ である。

(2) $A_1={\log }_2{a}_1=0$ であり，$b_j=A_{j+1}-A_j$ だから，階差を足し合わせると $$A_n-A_1=\sum _{j=1}^{n-1}(A_{j+1}-A_j)=\sum _{j=1}^{n-1}{b}_j$$ である。したがって $$A_n=\sum _{j=1}^{n-1}(1+\frac{j(j-1)}{2}{\log }_{2}3)$$ となる。ここで ${\sum }_{j=1}^{n-1}1=n-1$ であり，また$$\sum _{j=1}^{n-1}j(j-1)=\sum _{j=1}^{n-1}(j^2-j)=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-\frac{(n-1)n}{2}=\frac{(n-1)n(n-2)}{3}$$である。よって $$A_n=n-1+\frac{(n-1)n(n-2)}{6}{\log }_{2}3$$ である。したがって$$a_n=2^{A_n}=2^{n-1}\cdot 2^{\frac{(n-1)n(n-2)}{6}{\log }_{2}3}=2^{n-1}{3}^{\frac{(n-1)n(n-2)}{6}}$$となる。ゆえに $$a_n=2^{n-1}{3}^{\frac{(n-1)n(n-2)}{6}}$$ である。$n=1,2$ を代入するとそれぞれ $1,2$ となり，初期条件とも一致する。

漸化式に現れる素数は $2,3$ だけなので，$a_n=2^{u_n}{3}^{v_n}$ と表し，それぞれの指数の階差を求める。対数漸化式を一度に扱う解法1に対し，こちらは $2$ と $3$ の寄与を分離するため，一般項の構造を直接確認できる。

(1)
すべての $a_n$ は正であり，初期値と漸化式から $2,3$ 以外の素因数は現れない。そこで$$a_n=2^{u_n}{3}^{v_n}$$と書く。初期値は$$(u_1,u_2)=(0,1),(v_1,v_2)=(0,0)$$である。漸化式の両辺で $2,3$ の指数を比較すると$$u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n,v_{n+2}=n+2v_{n+1}-v_n$$を得る。

まず $u_{n+1}-u_n$ は一定で，初項は $u_2-u_1=1$ だから$$u_n=n-1$$である。次に $d_n=v_{n+1}-v_n$ とおくと$$d_{n+1}=d_n+n,d_1=0$$である。したがって$$d_n=\sum _{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.}$$よって$$v_n=\sum _{j=1}^{n-1}{d}_j=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n-1}j(j-1)=\frac{(n-1)n(n-2)}{6}\mathrm{.}$$(2)
以上から$$a_n=2^{n-1}{3}^{\frac{(n-1)n(n-2)}{6}}\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle ={\log }_2\frac{a_{n+1}}{a_n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(u_{n+1}-u_n)+(v_{n+1}-v_n){\log }_{2}3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{n(n-1)}{2}{\log }_{2}3.}\end{array}$$したがって$$b_n=1+\frac{n(n-1)}{2}{\log }_{2}3,a_n=2^{n-1}{3}^{\frac{(n-1)n(n-2)}{6}}\mathrm{.}$$