大阪大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

まず定積分を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{x-1}^x(t^2+t)dt}& {\displaystyle ={[\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}]}_{x-1}^x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})-(\frac{(x-1{)}^3}{3}+\frac{(x-1{)}^2}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2-\frac{1}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =4a{x}^3+\frac{1-a}{a}-6(x^2-\frac{1}{6})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a{x}^3-6x^2+\frac{1}{a}}\end{array}$$である。よって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12a{x}^2-12x=12x(ax-1)$$ である。

(i) $0<a<1$ のとき $0<x\leqq 1$ では $ax<1$ であるから $f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x(ax-1)<0$ である。したがって $f(x)$ は $[0,1]$ で減少し，最小値は $x=1$ でとる。よって必要十分条件は $f(1)>0$ である。ここで $f(1)=4a-6+\frac{1}{a}$ だから，$a>0$ に注意して $$4a-6+\frac{1}{a}>0⟺4a^2-6a+1>0$$ である。二次方程式 $4a^2-6a+1=0$ の解は $$a=\frac{3\pm \sqrt{5}}{4}$$ である。よって $0<a<1$ と合わせると $$0<a<\frac{3-\sqrt{5}}{4}$$ を得る。

(ii) $a\geqq 1$ のとき
このとき $0<\frac{1}{a}\leqq 1$ である。導関数の符号は，$0<x<1\mathrm{/}a$ で負，$1\mathrm{/}a<x\leqq 1$ で正となるので，最小値は $x=1\mathrm{/}a$ でとる。したがって必要十分条件は $$f\left(\frac{1}{a}\right)>0$$ である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left(\frac{1}{a}\right)}& {\displaystyle =4a\cdot \frac{1}{a^3}-6\cdot \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{a^2}-\frac{6}{a^2}+\frac{1}{a}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a-2}{a^2}}\end{array}$$である。$a^2>0$ だから，これは $a>2$ と同値である。$a=2$ のとき最小値は $0$ であり，問題の「正」には含まれない。

以上より，求める範囲は $$0<a<\frac{3-\sqrt{5}}{4},2<a$$ である。