上智大学 2014年度一般選抜理工学部数学第1問

(1) 初項と公比が正である等比数列 ${a_{n}}$ が，初項 $a_{1}$ は整数で， $a_{1} + a_{4} = 18$ であるとする． ${a_{n}}$ の公比が整数であるとき， ${a_{n}}$ の初項となり得る数のうち最も小さいものを求めよ．また， ${a_{n}}$ からつくられた無限等比級数 $a_{1} + a_{2} + \dots$ が収束し，かつ公比が有理数であるとき， $a_{1}$ とこの無限等比級数の和を求めよ．

(2) 定義域が実数全体であり値が実数である関数 $f (x)$ に関する命題
$P : x \geq 3$ ならば $f (x) < 2$ である．
$P$ の否定となっている命題を，次の選択肢から2つ選べ．
(a) $x < 3$ ならば $f (x) \geq 2$ である．
(b) $x \geq 3$ ならば $f (x) \geq 2$ である．
(c) $f (x) \geq 2$ ならば $x < 3$ である．
(d) $f (x) \geq 2$ となる $x \geq 3$ が存在する．
(e) $f (x) < 2$ となる $x < 3$ が存在する．
(f) $f (x) < 2$ となる $x \geq 3$ が存在する．
(g) $f (x) < 2$ ならば $x \geq 3$ である．
(h) $y \geq 3$ かつ $f (y) \geq 2$ を満たす実数 $y$ が存在する．

(3) 下図において，9つの点 $A$ 〜 $I$ のいずれか1つから出発し，2つの線分をたどって3つの異なる点を結ぶ方法を考える．ただし，同じ3点を通るが出発点の異なる結び方は互いに区別するものとする．

図の配置は， $A, B, C$ が上段， $D, E, F$ が中段， $G, H, I$ が下段にあり，隣接する点どうしは水平・垂直方向に結ばれている．さらに $A, E, I$ は一直線上にある．

(i) $A$ を出発点とする方法は何通りあるか．
(ii) $E$ を出発点とする方法は何通りあるか．
(iii) 9つの点 $A$ 〜 $I$ のどれか1つから出発する方法は全部で何通りあるか．

難易度5/ 10計算量5/ 10目安18分

数列、論証・証明、場合の数　約数・倍数、同値変形、対偶、場合分け、数え上げ

方針

(1) 等比数列なので $a_{4} = a_{1} r^{3}$ とおき， $a_{1} (1 + r^{3}) = 18$ を整数条件とともに整理する．公比が整数のときは候補を絞り，収束条件は $0 < r < 1$ で判定する．(2) 命題の否定は「前件を満たし後件を満たさない実数が存在する」である．(3) 1歩目と2歩目を順に数え，出発点ごとの経路数を合計する．

解答

(1) \ 初項を $a_{1}$ ，公比を $r (> 0)$ とする．条件 $a_{1} + a_{4} = 18$ より $a_{1} + a_{1} r^{3} = 18, a_{1} (1 + r^{3}) = 18$ である．

$r$ が整数のとき， $r > 0$ より $r = 1, 2, 3, \dots$ を考える． $a_{1} = 18 / (1 + r^{3})$ が整数でなければならないから， $1 + r^{3}$ が18の正の約数である必要がある． $r = 1$ では $a_{1} = 9$ ， $r = 2$ では $a_{1} = 2$ である． $r \geq 3$ では $1 + r^{3} \geq 28$ となり不適である．
よって初項となり得る最小値は $2$ である．

無限等比級数が収束するには $0 < r < 1$ が必要である．また $a_{1}$ は整数， $r$ は有理数で， $a_{1} (1 + r^{3}) = 18$ を満たすので， $a_{1}$ は $10$ 以上 $18$ 以下の整数に限られる．この範囲で $18 / a_{1} - 1$ が有理数の立方数となるのは $a_{1} = 16$ のときだけで， $r = \frac{1}{2}$ である．したがって $a_{1} = 16, a_{1} + a_{2} + \dots = \frac{16}{1 - 1 / 2} = 32$ である。

(2)

命題 $P$ は $\forall x \geq 3, f (x) < 2$ である。その否定は
$\exists x \geq 3, f (x) \geq 2$
である。したがって該当するのは (d) と，変数名を $y$ に替えた同値な命題
(h) である。

(3) \ 各点の隣接関係を整理する．
$A$ の隣接点は $B, D, E$ ． $B$ の隣接点は $A, C, E$ ． $C$ の隣接点は $B, F$ ． $D$ の隣接点は $A, E, G$ ． $E$ の隣接点は $A, B, D, F, H, I$ ． $F$ の隣接点は $C, E, I$ ． $G$ の隣接点は $D, H$ ． $H$ の隣接点は $G, E, I$ ． $I$ の隣接点は $F, H, E$ である．

(i) $A$ を出発点とすると， $A \to B$ の後は $C, E$ の2通り， $A \to D$ の後は $E, G$ の2通り， $A \to E$ の後は $B, D, F, H, I$ の5通りである．したがって
$2 + 2 + 5 = 9$
通りである．

(ii) $E$ を出発点とすると， $E \to A$ の後は $B, D$ の2通り， $E \to B$ の後は $A, C$ の2通り， $E \to D$ の後は $A, G$ の2通り， $E \to F$ の後は $C, I$ の2通り， $E \to H$ の後は $G, I$ の2通り， $E \to I$ の後は $F, H$ の2通りである．よって
$2 \times 6 = 12$
通りである．

(iii) 各点からの通り数を合計すると， $A : 9$ , $B : 8$ , $C : 4$ , $D : 8$ , $E : 12$ , $F : 8$ , $G : 4$ , $H : 8$ , $I : 9$ であるから，
$9 + 8 + 4 + 8 + 12 + 8 + 4 + 8 + 9 = 70$
通りである．

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出典: 上智大学 2014年度理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2014年度 一般選抜理工学部数学 第1問

方針

解答

上智大学 2014年度一般選抜理工学部数学第1問