上智大学 2014年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1) \ 球面$S$の半径は，中心$C(0,0,1)$から原点$O(0,0,0)$までの距離より$1$である．

$P$から接点$A$への接線は半径$CA$に垂直だから，三角形$CPA$は$A$で直角である．
まず$$CP=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+0^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{12+4}=4$$であるから，ピタゴラスの定理より$$P{A}^2=C{P}^2-C{A}^2=4^2-1^2=15$$となり，$$PA=\sqrt{15}$$である．

また，$\theta =\mathrm{\angle }CPA$とすると，直角三角形$CPA$で$$\sin \theta =\frac{CA}{CP}=\frac{1}{4}$$である．

(2) \ 光が当たる部分と影の部分の境界は，点$P$から球に引いた接線が接する点の集合であるから，その接点全体はある円をなす．この円の中心は$CP$上にある．

$CP=4$，$CA=1$より，接点円の中心は$C$から$CP$方向へ距離$1\mathrm{/}4$だけ進んだ点である．$CP$の単位ベクトルは$$(\frac{2\sqrt{3}}{4},0,\frac{2}{4})=(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{1}{2})$$だから，中心は$$(0,0,1)+\frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{1}{2})=(\frac{\sqrt{3}}{8},0,\frac{9}{8})$$である．

半径は$$\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$である．

したがって，中心は$(\frac{\sqrt{3}}{8},0,\frac{9}{8})$，半径は$\frac{\sqrt{15}}{4}$である．

(3) \ $xy$平面上の点を$(x,y,0)$とおく．点$P$とこの点を結ぶ直線が球$X^2+Y^2+(Z-1{)}^2=1$に接する条件を調べる。

直線上の点を
$(2\sqrt{3},0,3)+t(x-2\sqrt{3},y,-3)$
とおくと，球との交点条件は$t$についての二次方程式になる．接する条件は判別式が0であるから，計算すると境界は
$(x+2\sqrt{3}{)}^2+5y^2=15$
となる．

したがって影$S^{\mathrm{\prime }}$は，中心$(-2\sqrt{3},0)$，長軸の半径$\sqrt{15}$，短軸の半径$\sqrt{3}$の楕円の内部である．よって長軸の長さは
$2\sqrt{15}$
である。