上智大学 2015年度理工学部数学第1問｜問題・解答・解説

上智大学 2015年度一般選抜理工学部数学第1問

(1) $\frac{5}{6} < \log_{10} 7 < \frac{6}{7}$ であることを用いて， $7^{4}$ は何桁の整数であるか。また， $7^{2} < 50$ であることと $\log_{10} 2 > \frac{3}{10}$ であることを用いて， $\log_{10} 7$ の上からの評価を求め，これより $7^{41}$ は何桁の整数であるかを答えよ．

(2) $\log_{10} 15$ に最も近い値， $\log_{10} 17$ に最も近い値， $\log_{10} 19$ に最も近い値を，近似値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ ， $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いてそれぞれ求めよ。

難易度4/ 10計算量5/ 10目安10分

指数・対数、数と式　式変形、計算整理、逆算

方針

桁数は $n \log_{10} 7$ の整数部分から求める。まず与えられた不等式をそのまま使い， $7^{4}$ については $4 \log_{10} 7$ の範囲を挟んで桁数を決める。 $7^{41}$ は， $7^{2} < 50$ と $\log_{10} 2 > 3 / 10$ から $\log_{10} 7$ を上から評価し， $41 \log_{10} 7$ の範囲を定める。第(2)問は， $15, 17, 19$ を $10$ と $2, 3$ の組合せで表し，常用対数の加法性で近似する。

解答

(1)
$7^{4}$ の桁数は， $3 < 4 \log_{10} 7 < 4$ なら 4 桁である。実際， $\frac{5}{6} < \log_{10} 7 < \frac{6}{7}$ より $4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{3} > 3, 4 \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{7} < 4$ だから
$3 < 4 \log_{10} 7 < 4$
が成り立つ。したがって $7^{4}$ は 4 桁の整数である。

次に $7^{41}$ について， $7^{2} < 50$ より $\log_{10} 7 < \frac{1}{2} \log_{10} 50 = \frac{1}{2} (\log_{10} 5 + 1)$ .
また $\log_{10} 2 > \frac{3}{10}$ なので $\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 < 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ .
よって $\log_{10} 7 < \frac{1}{2} (\frac{7}{10} + 1) = \frac{17}{20}$ となる。したがって $41 \log_{10} 7 < 41 \cdot \frac{17}{20} = 34.85 < 35$ .
一方， $\log_{10} 7 > \frac{5}{6}$ だから $41 \log_{10} 7 > 41 \cdot \frac{5}{6} = \frac{205}{6} > 34$ .
ゆえに
$34 < 41 \log_{10} 7 < 35$
であり， $7^{41}$ は 35 桁の整数である。

(2) $\log_{10} 15 = \log_{10} (3 \cdot 5) = \log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2$ より $\log_{10} 15 \approx 0.4771 + 1 - 0.3010 = 1.1761$ .
したがって最も近い値は $1.18$ である。

同様に $\log_{10} 17 \approx 1.2304$ なので，最も近い値は $1.23$ である。

また $\log_{10} 19 \approx 1.2788$ なので，最も近い値は $1.28$ である。

以上より， $\log_{10} 15 \approx 1.18, \log_{10} 17 \approx 1.23, \log_{10} 19 \approx 1.28.$

出典: 上智大学 2015年度理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2015年度 一般選抜理工学部数学 第1問

方針

解答

上智大学 2015年度一般選抜理工学部数学第1問