上智大学 2017年度理工学部数学第3問｜問題・解答・解説

上智大学 2017年度一般選抜理工学部数学第3問

$e$ を自然対数の底とする． $y = e^{x}$ で表される曲線を $C$ とし，原点から $C$ へ引いた接線を $l$ とする．曲線 $C$ ，直線 $l$ および $y$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする．
(1) $C$ との接点の $x$ 座標を求めよ．
(2) $D$ の面積を求めよ．
(3) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
(4) $a$ ， $b$ を定数とするとき， $\frac{d}{d x} ((x^{2} + a x + b) e^{x}) = x^{2} e^{x}$ となるような $a, b$ を求めよ．
(5) $D$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

難易度5/ 10計算量6/ 10目安15分

方針

(1) 曲線 $y = e^{x}$ の $x = a$ における接線の式を立て，原点を通る条件から $a$ を決める．
(2) 面積は曲線と直線の上下関係を確認して， $x = 0$ から接点までの定積分で求める．
(3) $x$ 軸回転体はワッシャー法で，外半径と内半径の二乗差を積分する．
(4) 積の微分を展開して係数比較する．
(5) $y$ 軸回転体は円筒殻法で， $2 π \int x (上 - 下) d x$ を用いる．

解答

(1)
$y = e^{x}$ の $x = a$ における接線は， $y = e^{a} (x - a) + e^{a} = e^{a} (x - a + 1)$ である．これが原点 $(0, 0)$ を通るので
$0 = e^{a} (1 - a)$
となる． $e^{a} > 0$ より
$a = 1$
である．

(2)
(1) より接線 $l$ は $x = 1$ での接線であり，
$y = e x$
である．
$0 \leq x \leq 1$ では $e^{x} \geq e x$ なので，面積 $S$ は $S = \int_{0}^{1} (e^{x} - e x) d x$ である．よって $S = [e^{x}]_{0}^{1} - e [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} = (e - 1) - \frac{e}{2} = \frac{e}{2} - 1$ となる．

(3)
$x$ 軸のまわりの回転体の体積 $V$ は $V = π \int_{0}^{1} ((e^{x})^{2} - (e x)^{2}) d x = π \int_{0}^{1} (e^{2 x} - e^{2} x^{2}) d x$ である．したがって $V = π ([\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} - e^{2} [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$ $= π (\frac{e^{2} - 1}{2} - \frac{e^{2}}{3}) = π (\frac{e^{2}}{6} - \frac{1}{2})$ である．

(4) $\frac{d}{d x} ((x^{2} + a x + b) e^{x}) = ((2 x + a) + (x^{2} + a x + b)) e^{x}$ $= (x^{2} + (a + 2) x + (a + b)) e^{x}$ であるから，これが $x^{2} e^{x}$ に等しいためには
$a + 2 = 0, a + b = 0$
でなければならない．したがって
$a = - 2, b = 2$
である．

(5)
$y$ 軸のまわりの回転体の体積 $W$ は円筒殻法より $W = 2 π \int_{0}^{1} x (e^{x} - e x) d x$ である．ここで $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [(x - 1) e^{x}]_{0}^{1} = 1$ また $\int_{0}^{1} e x^{2} d x = e [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{e}{3}$ だから $W = 2 π (1 - \frac{e}{3}) = π (2 - \frac{2 e}{3})$ である．

出典: 上智大学 2017年度理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2017年度 一般選抜理工学部数学 第3問

方針

解答

上智大学 2017年度一般選抜理工学部数学第3問