上智大学 2015年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1) $$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$より，$s=\sin x$ とおくと$$f(x)=\sin x+2\sin 3x=s+2(3s-4s^3)=7s-8s^3$$.
したがって
$f(x)=7\sin x-8{\sin }^{3}x$
である。

(2)
一般に$$f(x)=\sin x+a(3\sin x-4{\sin }^{3}x)=(1+3a)s-4a{s}^3$$と書ける。$g(s)=(1+3a)s-4a{s}^3$ とおくと，$s\in [-1,1]$ 上での最大値を考えればよい。$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ に対応するのは $s=1$ である。$g^{\mathrm{\prime }}(s)=1+3a-12a{s}^2$ だから，$[0,1]$ で $g$ が増加していれば最大値は $s=1$ でとる。これには
$g^{\mathrm{\prime }}(1)=1-9a\ge 0$
が必要十分である。よって
$0<a\le \frac{1}{9}$
である。

(3)
$a>{\displaystyle \frac{1}{9}}$ のとき，$g^{\mathrm{\prime }}(s)=0$ より内部の極大点は$$s_0=\sqrt{\frac{1+3a}{12a}}$$である。このとき最大値は$$M(a)=g(s_0)=\frac{2}{3}(1+3a)s_0$$より$$M(a{)}^2=\frac{(1+3a{)}^3}{27a}$$となる。$u=3a$ とおくと$$M(a{)}^2=\frac{(1+u{)}^3}{9u}$$.
これを最小にするには$$\frac{d}{du}\left(\frac{(1+u{)}^3}{u}\right)=0$$より
$2u-1=0$
となるから$$u=\frac{1}{2},a=\frac{1}{6}$$.
このとき$$M^2=\frac{(1+1\mathrm{/}2{)}^3}{9\cdot (1\mathrm{/}2)}=\frac{3}{4}$$なので$$M=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
また，最大値を与える $s$ は$$s_0=\sqrt{\frac{1+3a}{12a}}=\sqrt{\frac{3\mathrm{/}2}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。したがって$$a=\frac{1}{6},\max f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。