上智大学 2015年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM）第3問

(1) $x = (3 + \sqrt{5}) / 2$ とする。
$x$ が満たす2次方程式， $y = x^{2}$ が満たす2次方程式を求め，
$x^{3} = a x + b$ となる整数 $a, b$ を求めよ。

(2) $\cos 3 θ, \cos 5 θ$ をそれぞれ
$\cos θ$ の多項式で表せ。

(3) $a > 1$ とし，数列を $a, 1 ∣ a^{2}, a, 1 ∣ a^{3}, a^{2}, a, 1 ∣ \dots$ と群に分ける。 $a^{12}$ が初めて現れる項番号と，
第645項が属する群および群内の項番号を求めよ。

(4) 次の3組の連続する試行について，独立な組をすべて選べ。

a. 4赤4白の袋から1個引き，戻してからもう1個引く。

b. 30人から無作為に $X, Y$ を順に選び，それぞれの誕生日が
1月1日である事象を考える。

c. 黒猫3匹・白猫2匹が別々の扉の後ろにいて，
1枚目の扉に黒猫，別の扉に白猫がいる事象を考える。

難易度5/ 10計算量6/ 10目安28分

数と式、三角関数、数列、確率　解と係数の関係、恒等式比較、数え上げ、独立性の利用

方針

(1) 共役を用いて最小多項式を作る。(2) 加法定理から3倍角，5倍角を導く。(3) 各群の項数を累積する。(4) 各組で $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ を確認する。

解答

(1) $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 。
$y = x^{2}$ の共役は $((3 - \sqrt{5}) / 2)^{2}$ なので
$y^{2} - 7 y + 1 = 0$ 。また $x^{2} = 3 x - 1$ から
$x^{3} = x (3 x - 1) = 8 x - 3$ 。よって $a = 8, b = - 3$ 。

(2) 加法定理を整理すると $\cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ, \cos 5 θ = 16 \cos^{5} θ - 20 \cos^{3} θ + 5 \cos θ .$ (3) 第 $n$ 群は $n + 1$ 項をもつ。第12群の第1項は $1 + \sum_{k = 1}^{11} (k + 1) = 78$ 番目。
また第34群までで629項なので，第645項は第35群の
$645 - 629 = 16$ 番目である。

(4) a は戻して引くため独立。b も異なる2人の誕生日を
無作為に選ぶので独立。c は $P (A) P (B) = (3 / 5) (2 / 5) = 6 / 25$ に対し $P (A \cap B) = (3 / 5) (2 / 4) = 3 / 10$ で一致しない。
したがって独立なのは a と b である。

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出典: 上智大学 2015年度 TEAP2数学（PM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2015年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM） 第3問

方針

解答

上智大学 2015年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM）第3問