上智大学 2022年度学部学科試験・共通テスト併用方式経済学部共通数学第1問

(1) 整式 $P (x)$ を $x^{2} + x - 2$ で割った余りが $2 x + 1$ ， $x^{2} - 4 x + 3$ で割った余りが $- x + a$ である。 $a$ と， $P (x)$ を $x^{2} - x - 6$ で割った余りを求めよ。

(2) $A = {(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 1})}^{- 1}, B = 5^{\log_{5} (2 / 5)}, C = \log_{3} 1.5, D = \log_{2} \frac{4}{3}$ を小さい順に並べよ。ただし $\log_{10} 2 = 0.30, \log_{10} 3 = 0.47, \sqrt{3} = 1.73$ とする。

(3) 2次関数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ は，すべての実数 $x$ に対して $3 \int_{0}^{x} f (t) d t + 10 \int_{- 1}^{0} x f (t) d t = - 2 \int_{- x}^{0} f (t) d t + 12 \int_{0}^{1} x^{3} t f (t) d t$ を満たし，さらに $\int_{0}^{2} f (t) d t = - 20$ を満たす。 $f (x)$ を求めよ。

(4) 自然数 $n$ を2進法で表した桁数と10進法で表した桁数の差を $F (n)$ とする。 $n ≦ 1000$ のときの $F (n)$ の最大値と，その最大値をとる最小の $n$ を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安34分

数と式、指数・対数、積分、整数　剰余分類、不等式評価、恒等式比較、場合分け

方針

(1) は各2次式の根での値をつなぐ。(2) はすべて小数評価する。(3) は積分後の恒等式で係数比較し，定積分条件を加える。(4) は10進の桁数ごとに2進の桁数が切り替わる境界を調べる。

解答

(1) $P (1) = 3$ である一方，2つ目の余りから $P (1) = - 1 + a$ なので $a = 4$ 。 $P (x)$ を $(x + 2) (x - 3)$ で割った余りを $b x + c$ とおくと， $P (- 2) = - 3, P (3) = 1$ より $b = 4 / 5, c = - 7 / 5$ 。したがって余りは $4 x / 5 - 7 / 5$ である。

(2) $A = (3 \sqrt{3} - 1) / 13 ≃ 0.32, B = 2 / 5 = 0.40, C = 1 - 0.30 / 0.47 ≃ 0.36, D = 2 - 0.47 / 0.30 ≃ 0.43$ 。よって $A < C < B < D$ である。

(3) 与式を積分して係数比較すると $b = 0, 2 a + 9 c = 0$ を得る。また条件 (b) から $8 a / 3 + 2 c = - 20$ である。これを解いて $a = - 9, c = 2$ だから $f (x) = - 9 x^{2} + 2$ である。

(4) 3桁の範囲 $100 ≦ n ≦ 999$ では， $512 ≦ n ≦ 999$ のとき2進表示が10桁，10進表示が3桁なので差は7である。他の桁数の範囲も比較するとこれが最大であり，最小の $n$ は512である。

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出典: 上智大学 2022年度経済学部共通数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2022年度 学部学科試験・共通テスト併用方式経済学部共通数学 第1問

方針

解答

上智大学 2022年度学部学科試験・共通テスト併用方式経済学部共通数学第1問