上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第3問

(1) $2016_{(7)}$ を10進法で表せ。

(2) $m, n$ を整数とし $2 ≦ m < n ≦ 9$ とする。 $10101_{(n)} - 10101_{(m)}$ を10進法で表した数を $k$ とする。

(i) $k$ が21の倍数となる $(m, n)$ の組をすべて求め，
その個数と，その中で $m + n$ が最大となる組を答えよ。

(ii) (i) で $m + n$ が最大となる組に対する $k$ を $K$
とする。 $K$ を $m$ 進法で表したときの $m^{2}$ の位の数字と，
$K$ を $n$ 進法で表したときの $n^{2}$ の位の数字を求めよ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安25分

整数、数と式　合同式、展開・因数分解、剰余分類

方針

各位を基数のべきに展開する。 $k$ を因数分解し，3と7に関する平方剰余で候補を絞る。最後は確定した $K$ を各基数で割り進める。

解答

(1) $2016_{(7)} = 2 \cdot 7^{3} + 0 \cdot 7^{2} + 1 \cdot 7 + 6 = 699$ 。

(2) (i) $k = (n^{4} + n^{2} + 1) - (m^{4} + m^{2} + 1) = (n^{2} - m^{2}) (n^{2} + m^{2} + 1) .$ 3と7に関する剰余を調べると，21の倍数となるのは $(m, n) = (2, 5), (2, 4), (3, 9), (4, 5)$ の4組である。このうち $m + n$ が最大なのは $(3, 9)$ 。

(2) (ii) $K = (9 - 3) (9 + 3) (9^{2} + 3^{2} + 1) = 6552$ 。
3進法では $K = 22222220_{(3)}$ だから $3^{2}$ の位は2。
9進法では $K = 8880_{(9)}$ だから $9^{2}$ の位は8。

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出典: 上智大学 2016年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第3問

方針

解答

上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第3問