上智大学 2015年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第2問

(1) $355=41\cdot 8+27$ から$$x=(1-355y)\mathrm{/}41=(1-27y)\mathrm{/}41-8y$$ と表せる。
$0<x<100$ を満たすには $-11\leqq y\leqq 0$ であり，
$(1-27y)\mathrm{/}41$ が整数となるのは $y=-3$ のときだけである。
したがって $(x,y)=(26,-3)$。

(2) 普通郵便を $x$ 通，簡易書留を $y$ 通とすると
$82x+710y=5000$。左辺の形から $x=5x^{\mathrm{\prime }}$，さらに
$x^{\mathrm{\prime }}+y=10z$ とおける。整理すると $3y+41z=50$ となるため，
非負整数解は $y=3,z=1$ のみで，$x^{\mathrm{\prime }}=7$。
よって普通郵便35通，簡易書留3通。

(3) 合計額は $41(2x+5y)$ 円なので，該当額は
6109円だけで，一の位は9である。方程式は $2x+5y=149$。
$y=2u+1$ とおくと $x=5v+2,u+v=14$ となり，
$v=0,1,\dots ,14$ の15通り。
切手総数は $x+y=31+3v$ なので最小は
$(x,y)=(2,29)$。枚数差は $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }7v-27\mathrm{\mid }$ なので，
最小は $v=4$ のときの $(x,y)=(22,21)$ である。