上智大学 2013年度学部学科試験経営学科数学第3問

$k$ を2以上の整数とし，方程式 $3 x + 2 y + z = 6 k - 1$ の正の整数解を考える。

(1) 解の組 $(x, y, z)$ の個数を $k = 2, 3$ について求めよ。
(2) $x$ のとり得る値の個数を求めよ。
(3) 解の組の総数を $k$ で表せ。

以下 $k$ は2以上の偶数とする。
(4) $x ≦ k$ を満たす解の個数を求めよ。
(5) $x ≦ k, z ≦ 3 k$ を同時に満たす解の個数を求めよ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安27分

方針

$x$ を固定すると， $z = 6 k - 3 x - 1 - 2 y$ が正になる
$y$ の個数を数えればよい。 $x$ の偶奇で上限が変わるため分けて和を取る。
追加条件は和の範囲を $x ≦ k$ に切り，
$z ≦ 3 k$ を $y$ の下限へ変換する。

(1) $k = 2$ では5組， $k = 3$ では16組。

(2) $y, z ≧ 1$ から $3 x ≦ 6 k - 4$ 。
したがって $x = 1, 2, \dots, 2 k - 2$ の $2 k - 2$ 個。

(3) $x$ が奇数・偶数の場合の $y$ の個数をそれぞれ求め，
$x = 1$ から $2 k - 2$ まで加えると
$3 k^{2} - 4 k + 1$ 。

(4) 同じ和を $x = 1, \dots, k$ に制限する。
$k$ は偶数なので奇数・偶数が各 $k / 2$ 個あり，
個数は $9 k^{2} / 4 - 2 k$ 。

(5) $z = 6 k - 3 x - 1 - 2 y ≦ 3 k$ より
$y ≧ (3 k - 3 x - 1) / 2$ 。
この下限と正値条件を合わせて数えると
$3 k^{2} / 2 - 1$ 。

出典: 上智大学 2013年度経営学科数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。