上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM） 第2問

整数座標をもつ点を格子点，両座標が有理数である点を
有理点とよぶ。

(1) 次の条件を満たす直線を選択肢からすべて選べ。

(i) 格子点を1点だけ通る。

(ii) 格子点を通らないが，有理点を2点以上通る。

(iii) 格子点を通らないが，有理点を1点だけ通る。

(iv) 有理点を通らない。$$\begin{array}{ll}\mathrm{A}:2x+3y=0,& \mathrm{B}:2x-3y=1,\\ \mathrm{C}:4x+6y=3,& \mathrm{D}:x+\sqrt{3}y=3,\\ \mathrm{E}:\sqrt{2}x+3y=2,& \mathrm{F}:\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1,\\ \mathrm{G}:\sqrt{2}x+3y=\sqrt{2},& \mathrm{H}:2\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=\sqrt{2}\mathrm{.}\end{array}$$(2) (iv) で選んだ直線が有理点を1つも通らないことを証明せよ。
ただし $\sqrt{2},\sqrt{3}$ が無理数であることは用いてよい。