上智大学 2017年度 一般選抜理工学部数学 第4問

$m$を5以上の自然数とする．$m$個の点を平面にある円周上に等間隔に並べる．これら$m$個の点に，時計回りの順に $1,2,\dots ,m$ と番号を付ける．以下，隣り合った点を時計回りに移動することを「進む」，反時計回りに移動することを「戻る」ということとする．例を挙げると，点1から5つ進むと点4に移動し，点$m$から3つ進むと点3に移動し，点1から3つ戻ると点$(m-2)$に移動する．次の2つの操作を考える．

（操作A）5つ進み，移動した点に白石を置く．

（操作B）2つ戻り，移動した点に黒石を置く．

ある人が点$m$を出発点として操作Aを行い，次に操作Bを行い，以下交互に操作Aと操作Bを繰り返し移動を続け，すべての点に石を置いたら操作を終了する．ただし，移動した点ですでに石が置かれている場合は，その石を取り除いて新たに石を置くものとする．
(1) $m=10$のとき，何回石を置くと操作は終了するか．また，終了したとき，最後にいる点の番号と，置かれている黒石の個数を求めよ．
(2) $m=11$のとき，何回石を置くと操作は終了するか．また，終了したとき，最後にいる点の番号と，置かれている黒石の個数を求めよ．
(3) $m=12$のとき，番号がどの4点には石が置かれず，操作は終了しないか．ただし，それら4点の番号を小さい順に求めよ．
(4) 操作が終了しないための必要十分条件は，$m$がある整数で割り切れることである．また，$m$が自然数 $n$ を用いて $m=$その整数$\cdot n+1$ と表されるとき，何回石を置くと操作が終了するか．さらに，終了したときに置かれている黒石の個数を求めよ．