上智大学 2016年度 一般選抜理工学部数学 第1問

(1) 選ぶ3つを小さい順に $a<b<c$ とする．隣り合わない条件は$$b\ge a+2,c\ge b+2$$である．そこで$$a^{\mathrm{\prime }}=a,b^{\mathrm{\prime }}=b-1,c^{\mathrm{\prime }}=c-2$$とおくと
$1\le a^{\mathrm{\prime }}<b^{\mathrm{\prime }}<c^{\mathrm{\prime }}\le n-2$
となる．逆に，$1$ から $n-2$ までの自然数から3つ選べば元に戻せるから，全体の個数は
$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$
である．したがって
$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$
通りである．

(2) まず $P$ を $Q$ で割ると$$P=x^3-x^2+1=x(x^2-x+1)+(1-x)=xQ+(1-x)$$より，余りは
$R=1-x$
である．
次に $Q$ を $R$ で割ると$$Q=x^2-x+1=-x(1-x)+1=-xR+1$$だから，余りは
$S=1$
である．ここで$$1=Q+xR=Q+x(P-xQ)=xP+(1-x^2)Q$$と変形できるので，
$S=(x)P+(-x^2+1)Q$
である．よって$$a=1,b=0,c=-1,d=1$$である．

(3) 与式を $z$ について解くと
$w(1-2z)=4z$
より$$z=\frac{w}{2(w+2)}$$となる．ここで $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ だから$$\mid \frac{w}{2(w+2)}\mid =1$$すなわち
$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }w+2\mathrm{\mid }$
である．$w=u+vi$ とおくと$$u^2+v^2=4\{(u+2{)}^2+v^2\}$$より
$3u^2+3v^2+16u+16=0$
となる．平方完成すると$${(u+\frac{8}{3})}^2+v^2=\frac{16}{9}$$であり，したがって$$\mid w+\frac{8}{3}\mid =\frac{4}{3}$$である．