上智大学 2021年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第3問

(1) m=3では，各列は3種類の作物A,B,Cを縦に重ならないように並べた順列である。隣り合う2列の同じ位置に同じ作物があると，その分だけ畑の個数は減る。

2列の場合，2列目が1列目と一致する位置数は0,1,3のいずれかであるから，畑の数は6,5,3の3通りとなる。

3列の場合は，2つの境界での一致数の和が0,1,2,3,4,6の6通りとなるので，畑の数は6通りである。

同様に，n=10の場合は9個の境界での一致数の和が0から27までのすべての整数をとるので，畑の数は28通りである。

したがって，n=3のとき6通り，n=10のとき28通りである．

(2) m=3，n=3のとき，畑の数が8個になるには，2つの境界での一致数の和が1であればよい。したがって一致数の組は(1,0)または(0,1)である。

1列目の並べ方は6通りであり，ある境界で一致数が1になる右隣の列の並べ方は3通り，一致数が0になる右隣の列の並べ方は2通りである。ゆえに$$6\times 3\times 2+6\times 2\times 3=72$$通りである．

(3) m=6，n=2のときは2列だけを考えればよい。左列を固定すると，右列は6個の位置のうち2個だけが同じ作物であれば，畑の数は8個になる。条件を満たす順列の数を数えると，確率は
$\frac{1}{48}$
である．