上智大学 2022年度学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学第4問

座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ と点 $P (6, 0)$ がある。円 $C$ 上を点 $A (2 a, 2 b)$ が動くとき，線分 $A P$ の中点を $M$ とし，線分 $A P$ の垂直二等分線を $ℓ$ とする。

(1) 点 $M$ の軌跡の方程式を求め，その軌跡を図示せよ。

(2) 直線 $ℓ$ の方程式を， $a, b$ を用いて表せ。

(3) 直線 $ℓ$ が通過する領域を表す不等式を求め，その領域を図示せよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安17分

図形と方程式、関数　座標設定、軌跡、円の性質、不等式評価、式変形、図形的解釈

方針

(1) 中点の座標を求め，円の方程式に代入する。(2) 垂直二等分線は等距離条件で求める。(3) 直線群の通過領域は，ある実数の取りうる範囲として内積評価に帰着する。

解答

(1)

点 $A (2 a, 2 b)$ は円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上にあるから
$(2 a)^{2} + (2 b)^{2} = 4$ ,
すなわち
$a^{2} + b^{2} = 1$
である。線分 $A P$ の中点 $M$ は $M (\frac{2 a + 6}{2}, \frac{2 b}{2}) = (a + 3, b)$ である。 $M = (x, y)$ とおけば $a = x - 3, b = y$ なので
$(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$
を得る。したがって，軌跡は中心 $(3, 0)$ ，半径1の円である。

(2)

直線 $ℓ$ 上の点を $(x, y)$ とすると， $A$ と $P$ から等距離であるから $(x - 2 a)^{2} + (y - 2 b)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2}$ .
$a^{2} + b^{2} = 1$ を用いて整理すると
$a x + b y = 3 x - 8$
となる。これが直線 $ℓ$ の方程式である。

(3)

点 $(x, y)$ を通る直線 $ℓ$ が存在するための条件は，
$a^{2} + b^{2} = 1$ を満たす実数 $a, b$ によって
$a x + b y = 3 x - 8$
と書けることである。内積の取りうる範囲より $- \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq a x + b y \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ だから，必要十分条件は $∣ 3 x - 8 ∣ \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
両辺を二乗して
$x^{2} + y^{2} \geq (3 x - 8)^{2}$
を得る。したがって通過領域は
$y^{2} \geq 8 (x - 3)^{2} - 8$
で表され，境界を含む双曲線の左右の枝の間の領域である。

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出典: 上智大学 2022年度理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2022年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第4問

方針

解答

上智大学 2022年度学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学第4問