上智大学 2017年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第2問

直線 $P Q$ が点 $A$ を中心とする円 $C$ に点 $P$ で
接している。円 $C$ 上の点 $R$ について
$θ = ∠ Q P R$ とおき， $∠ Q P S = 2 θ$ となる円 $C$
上の点を $S$ とする。ただし $0 < θ < π, P R = 1, P S = 2 \cos 2 θ + 3 \cos θ - 1$ とする。

(1) $\cos θ$ と $P S$ を求めよ。

(2) $0 < a ≦ 1 / 2$ とし，線分 $P S$ を $a : (1 - a)$ に内分する
点を $T$ とする。直線 $R T$ と円 $C$ のもう1つの交点を
$U$ とする。 $R T = T U$ のとき， $a, R T, S U$ を求めよ。

(3) (2) の条件のもとで，直線 $A R$ と線分 $S U$ の交点を
$V$ ，直線 $A R$ と線分 $P S$ の交点を $W$ とする。
$S W, S V, U V$ を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安32分

図形と方程式、三角関数、ベクトル　円の性質、三角比の利用、内積の利用、面積比

方針

接弦定理から $△ R P S$ が二等辺になることを使い，余弦定理で $\cos θ$ を決める。(2) は方べきと余弦定理，(3) は円周角と相似・ベクトルの内分表示で長さを求める。

解答

(1) 接弦定理より $∠ Q P R = ∠ P S R = θ$ であるから $R P = R S = 1$ である。
$△ R P S$ に余弦定理を用いると $P S^{2} = R P^{2} + R S^{2} - 2 R P \cdot R S \cos (π - 2 θ) = 4 \cos^{2} θ .$ $P S > 0$ と条件式を合わせると $4 \cos^{2} θ + 3 \cos θ - 3 = 2 \cos θ$ である。
許される解は $\cos θ = 3 / 4$ で， $P S = 3 / 2$ となる。

(2) 方べきの定理と $R T = T U$ より $R T^{2} = P T \cdot T S = a (1 - a) P S^{2} = - \frac{9}{4} a^{2} + \frac{9}{4} a .$ 一方， $∠ R P S = θ$ なので余弦定理から $R T^{2} = P T^{2} + P R^{2} - 2 P T \cdot P R \cos θ = 9 a^{2} / 4 - 9 a / 4 + 1$ である。両式を等置すると
$(3 a - 1) (3 a - 2) = 0$ となり， $0 < a ≦ 1 / 2$ から $a = 1 / 3$ 。
したがって $R T = \sqrt{2} / 2$ である。

$△ R T P$ と $△ S T U$ は相似で，
$S U : P R = T U : T P$ だから $S U = \sqrt{2}$ である。

(3) $△ R P S$ は $R P = R S$ の二等辺三角形なので
$S W = S P / 2 = 3 / 4$ である。さらに $\vec{R W} = α \vec{R V}$ とおき，
$\vec{R V}$ を $\vec{R P}, \vec{R S}$
で2通りに表すと $α = 5 / 3$ を得る。よって
$S V = (3 / 5) S U = 3 \sqrt{2} / 5$ ，
$U V = (2 / 5) S U = 2 \sqrt{2} / 5$ である。

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出典: 上智大学 2017年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2017年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第2問

方針

解答

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