上智大学 2020年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1)
切り口の平面は
$z=\sqrt{3}y$
である。円柱は
$x^2+y^2=1$
で表されるから，$C$ 上では $z$ は $y$ に比例する。したがって $z$ を最小にするには $y$ を最小にすればよい。
円柱上で $y$ の最小値は $-1$ であり，そのとき $x=0$，また
$z=\sqrt{3}(-1)=-\sqrt{3}$
である。よって
$A=(0,-1,-\sqrt{3})$
である。

(2)
$B=(x,y,\sqrt{3}y)$ とおくと，$B$ は円柱上の点なので
$x^2+y^2=1$
である。
また，$\mathrm{\angle }AOB=\pi \mathrm{/}6$ より$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }OB\mathrm{\mid }\cos \frac{\pi }{6}$$が成り立つ。
ここで$$\overrightarrow{OA}=(0,-1,-\sqrt{3}),\overrightarrow{OB}=(x,y,\sqrt{3}y)$$だから$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-y-3y=-4y$$.
また$$\mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$$,$$\mathrm{\mid }OB\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2+3y^2}=\sqrt{1+3y^2}$$.
したがって$$-4y=2\sqrt{1+3y^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\sqrt{1+3y^2}$$.
両辺を二乗すると
$16y^2=3(1+3y^2)$
より$$7y^2=3,y=\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$$.
ここで $x>0$ かつ $\mathrm{\angle }AOB=\pi \mathrm{/}6$ は鋭角なので，内積は正である。ゆえに $y<0$ でなければならないから$$y=-\sqrt{\frac{3}{7}}$$である。すると$$x^2=1-y^2=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$$より，$x>0$ から$$x=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$である。さらに$$z=\sqrt{3}y=-\sqrt{3}\sqrt{\frac{3}{7}}=-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$$.
したがって$$B(\frac{2\sqrt{7}}{7},-\sqrt{\frac{3}{7}},-\frac{3\sqrt{7}}{7})=(\frac{2\sqrt{7}}{7},-\frac{\sqrt{21}}{7},-\frac{3\sqrt{7}}{7})$$である。

最後に三角形 $OAB$ の面積を求める。$$\mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }=2,\mathrm{\mid }OB\mathrm{\mid }=\sqrt{1+3\cdot \frac{3}{7}}=\sqrt{\frac{16}{7}}=\frac{4}{\sqrt{7}}\mathrm{.}$$また $\mathrm{\angle }AOB=\pi \mathrm{/}6$ より $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ であるから$$[\mathrm{△}OAB]=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }OB\mathrm{\mid }\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{4}{\sqrt{7}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\mathrm{.}$$よって，求める面積は
$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
である。