上智大学 2020年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1)

$y=2\sin t+\sin 2t$
を微分すると$$\frac{dy}{dt}=2\cos t+2\cos 2t$$.
$c=\cos t$ とおけば，極値条件は$$2c+2(2c^2-1)=0⟺(2c-1)(c+1)=0$$.
$c=1\mathrm{/}2$ のとき$$y=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$となり，端点と $c=-1$ ではこれを上回らない。したがって$$y_{\max }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

また$$x=2{\cos }^{2}t+2\cos t-1=2{(\cos t+\frac{1}{2})}^2-\frac{3}{2}$$より
$x_{\min }=-\frac{3}{2}$
である。

(2)
$y$軸上にあるので $x=0$ とすると
$2\cos t+\cos 2t=0$.
$\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1$ として $c=\cos t$ とおけば
$2c+2c^2-1=0$.
よって$$c=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$$であるが，$[-1,1]$ に入るのは$$c=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$である。このとき$${\sin }^{2}t=1-{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$$より，$0\le t\le \pi$ なので$$\sin t=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$$.
したがって$$y=2\sin t(1+\cos t)=2\cdot \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt[4]{3}(1+\sqrt{3})}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$よって，$y$軸上の点の座標は
$(0,\frac{\sqrt[4]{3}(1+\sqrt{3})}{\sqrt{2}})$
である。

(3) $$x^{\mathrm{\prime }}=-2\sin t-2\sin 2t=-2\sin t(1+2\cos t)$$,$$y^{\mathrm{\prime }}=2\cos t+2\cos 2t=2\cos t+4{\cos }^{2}t-2$$.
$u=\frac{t}{2}$，$c=\cos u$，$s=\sin u$ とおくと$$x=8c^4-4c^2-1,y=8s{c}^3$$.
これを微分して整理すると$${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=16c^2$$となる。したがって速さ $v$ は$$v=4\mid \cos \frac{t}{2}\mid$$である。

(4)
弧長 $L$ は$$L={\int }_0^{2\pi }4\mid \cos \frac{t}{2}\mid dt\mathrm{.}$$$u=\frac{t}{2}$ とおくと $dt=2du$ だから$$L=8{\int }_0^{\pi }\mathrm{\mid }\cos u\mathrm{\mid }du=8({\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\cos udu+{\int }_{\pi \mathrm{/}2}^{\pi }(-\cos u)du)\mathrm{.}$$よって
$L=8(1+1)=16$.

(5)
面積 $S$ は$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})dt$$で与えられる。
計算すると
$x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=6(1+\cos t)$
となるから$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }6(1+\cos t)dt=3{\int }_0^{2\pi }(1+\cos t)dt=6\pi \mathrm{.}$$したがって求める面積は
$6\pi$
である。