上智大学 2019年度 一般選抜理工学部数学 第1問

(1) $P=(x,-1,z)$ とおく．

$OA\perp OP$ より$$(-1,2,2\sqrt{2})\cdot (x,-1,z)=0$$すなわち
$-x-2+2\sqrt{2}z=0$.
また，$OB\perp OP$ より$$(0,2,\sqrt{2})\cdot (x,-1,z)=0$$だから
$-2+\sqrt{2}z=0$.
よって
$z=\sqrt{2}$
であり，これを代入して
$-x-2+4=0$
より
$x=2$.
したがって
$P=(2,-1,\sqrt{2})$
である．

次に$$\overrightarrow{AB}=(1,0,-\sqrt{2}),\overrightarrow{AP}=(3,-3,-\sqrt{2})$$より$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=5$$.
また$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{3},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=2\sqrt{5}$$.
したがって$$\cos \mathrm{\angle }BAP=\frac{5}{\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$$.
三角形 $ABP$ の面積は$$\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }\sin \mathrm{\angle }BAP=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{6}\right)}^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}\mathrm{.}$$(2)　$Q=(x,y,z)$ とおく．$AQ=BQ$ より$$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2\sqrt{2}{)}^2=x^2+(y-2{)}^2+(z-\sqrt{2}{)}^2$$.
整理して$$2x-2\sqrt{2}z+7=0,x=\sqrt{2}z-\frac{7}{2}$$.
さらに $OQ=\sqrt{6}$ だから
$x^2+y^2+z^2=6$.
これに代入すると$$y^2=6-{(\sqrt{2}z-\frac{7}{2})}^2-z^2=\frac{23}{12}-3{(z-\frac{7\sqrt{2}}{6})}^2\mathrm{.}$$よって $y^2$ の最大値は ${\displaystyle \frac{23}{12}}$，したがって $y$ 座標の最大値は
$\frac{\sqrt{69}}{6}$
である．このとき$$z=\frac{7\sqrt{2}}{6},x=\sqrt{2}\cdot \frac{7\sqrt{2}}{6}-\frac{7}{2}=-\frac{7}{6}\mathrm{.}$$次に，$x$ は$$x=\sqrt{2}z-\frac{7}{2},x^2+z^2\le 6$$のもとで最大となる．これより$${(x+\frac{7}{2})}^2\mathrm{/}2+x^2\le 6$$すなわち
$12x^2+28x+1\le 0$.
したがって $x$ の最大値は
$\frac{-7+\sqrt{46}}{6}$
である．

また，$AQ=BQ$ の条件は平面
$2x-2\sqrt{2}z+7=0$
である．原点からこの平面までの距離は
$\frac{7}{2\sqrt{3}}$
なので，軌跡の円の半径 $r$ は$$r=\sqrt{6-{\left(\frac{7}{2\sqrt{3}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{23}{12}}=\frac{\sqrt{69}}{6}\mathrm{.}$$