上智大学 2021年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第4問

(1) 楕円$$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$$を$$F(x,y)=\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}-1=0$$とおくと，点 $P_1(x_1,y_1)$ での接線は$$\frac{x_1}{3}(x-x_1)+y_1(y-y_1)=0$$に相当する．これを整理すると$$\frac{x_1}{3}x+y_{1}y-(\frac{x_1^2}{3}+y_1^2)=0$$である．$P_1$ は楕円上にあるから$$\frac{x_1^2}{6}+\frac{y_1^2}{2}=1$$すなわち$$\frac{x_1^2}{3}+y_1^2=2$$より，接線は
$x_{1}x+3y_{1}y-6=0$
となる．

(2) $P_1{P}_2$ は2接線の交点 $Q(a,b)$ の極線であるから，楕円の極線の公式より$$\frac{a}{6}x+\frac{b}{2}y=1$$すなわち
$ax+3by-6=0$
である．

(3) 直線 $P_1{P}_2$ の方程式が
$ax+3by-6=0$
なので，その中点 $R$ は，原点 $O$ と点 $Q$を結ぶ直線上にある．実際，楕円$$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$$の弦の中点 $R$ は，極 $Q(a,b)$ に対して$$\overrightarrow{OR}=\frac{6}{a^2+3b^2}\overrightarrow{OQ}$$となる．したがって3点 $O,R,Q$は一直線上にある．

よって$$\overrightarrow{OR}=\frac{6}{a^2+3b^2}\overrightarrow{OQ}$$である．

(4) $l_1,l_2$ の傾きをそれぞれ $t_1,t_2$ とする．傾き $t$ の接線を $y=tx+c$ とおくと，楕円に接する条件より $c$ が $t$ により定まり，さらに $Q(a,b)$ を通ることから$$(a^2-6)t^2-2abt+(b^2-2)=0$$が得られる．したがって，$l_1,l_2$ の傾き $t$ はこの2次方程式の2解である．