上智大学 2020年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第1問

(1) 自然数 $n$ と $x$ の式 $A(x)$ に対する条件$$(p_n)\text{すべての }x\geqq 1\text{ に対して }A(x)\leqq n$$を考える。候補$$\begin{array}{ll}(\mathrm{a})A(x)=2x,& (\mathrm{b})A(x)=-2+5x-x^2,\\ (\mathrm{c})A(x)=\sin x,& (\mathrm{d})A(x)=3-{\displaystyle \frac{1}{x}},\\ (\mathrm{e})A(x)={\log }_{10}x\end{array}$$から，(i) $p_3$ を満たすもの，(ii) すべての自然数 $n$ で $p_n$ を満たすもの，(iii) ある自然数 $n$ で $p_n$ を満たすものを選べ。また (iv) $p_n$ の否定を，次から選べ。

$(\mathrm{a})$ すべての $x<1$ で $A(x)\leqq n$。
$(\mathrm{b})$ すべての $x\geqq 1$ で $A(x)>n$。
$(\mathrm{c})$ すべての $x<1$ で $A(x)>n$。
$(\mathrm{d})$ ある $x<1$ で $A(x)\leqq n$。
$(\mathrm{e})$ ある $x\geqq 1$ で $A(x)>n$。
$(\mathrm{f})$ ある $x<1$ で $A(x)>n$。

(2) 11個の自然数 $x_1,\dots ,x_{11}$ からなるデータについて，次の命題が必ず成り立つか，成り立つ場合と成り立たない場合があるか，決して成り立たないかを答えよ。

(i) 平均値は自然数，(ii) 中央値は自然数，(iii) 最初の10個の分散より11個の分散の方が大きい，(iv) 標準偏差を $s_1$，$2x_1+1,\dots ,2x_{11}+1$ の標準偏差を $s_2$ とすると $s_2=2s_1+1$，(v) 同様に分散を $v_1,v_2$ とすると $v_2=4v_1$。

(3) 4つの散布図A〜Dの相関係数を，$-0.9,0,1.0,0.5$ からそれぞれ選べ。ただしAは強い負の相関，Bは無相関，Cは一直線上の正の相関，Dは弱い正の相関を示す。