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上智大学 2024年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第2問

表と裏が出る確率がそれぞれ 1/2 である硬貨がある。座標平面上の点 A(0,0)，B(1,0) について，硬貨を1回投げるごとに次の規則で点を動かす。この操作を n 回繰り返した直後の点 A,B を考える。

・表が出たとき，A は動かさず，B を A を中心に反時計回りに 90∘ 回転した位置へ動かす。

・裏が出たとき，B は動かさず，A を B を中心に反時計回りに 90∘ 回転した位置へ動かす。

(1) n=10 のとき，AB→ を求めよ。

(2) n=3 のとき，A が位置し得る座標の総数を求めよ。

(3) n=4 のとき，A が原点にある確率と，A が x 軸上にある確率を求めよ。

(4) n=8 のとき，A が原点にある確率と，A が x 軸上にある確率を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安22分

ベクトル、確率、場合の数　回転・拡大、状態分類、数え上げ

方針

表裏のどちらでも AB→ は毎回 90∘ 回転する。点 A が動くのは裏のときだけなので，4回を1組として裏が出た位置に対応する変位ベクトルを数える。8回では2組の分布を畳み合わせる。

解答

(1) 表裏のどちらでも AB→ は反時計回りに 90∘ 回転する。したがって，10回後には (1,0) が 900∘ 回転しているから，AB→=(−1,0) である。

(2) 3回の各段階で裏が出たときの A の変位は，順に (1,−1),(1,1),(−1,1) である。これらを選ぶ部分集合を調べると，得られる座標は6個である。

(3) 4回の変位候補は (1,−1),(1,1),(−1,1),(−1,−1) である。選んだ変位の和が (0,0) となる選び方は4通りなので，原点にある確率は 4/16=1/4 である。y 成分の和が0となる選び方は6通りなので，x 軸上にある確率は 6/16=3/8 である。

(4) 4回分の y 成分の変化量 −2,−1,0,1,2 の生じる場合の数は順に 1,4,6,4,1 である。2組の和が0となる場合は 12+42+62+42+12=70 通りだから，x 軸上にある確率は 70/256=35/128 である。

また，4回後の位置ごとの場合の数を反対位置同士で組み合わせると，8回後に原点へ戻る場合は36通りである。したがって，原点にある確率は 36/256=9/64 である。

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出典: 上智大学 2024年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。