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上智大学 2024年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第3問

(1) 整数の組 (x,y) でlog⁡1/4y<log⁡1/2(x−1),2y−1<8xを満たすものの個数を求めよ。

(2) AB=4, BC=26, CA=23−2 の △ABC がある。角 A の二等分線と辺 BC の交点を D とする。△ABC の面積と AD を求めよ。

(3) 座標平面上で，直線 y=2x−3 を原点を中心に反時計回りに 45∘ 回転して得られる直線の方程式を求めよ。

(4) 放物線 y=x2 上の点 P(t,t2)（0≦t≦1）における接線と，放物線 y=−(x+1)2 の2つの共有点の中点を Q とする。ただし，共有点が1つの場合はその共有点を Q とする。点 Q の座標を求め，t が 0≦t≦1 を動くときに線分 PQ が動いてできる図形の面積を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安36分

方程式・不等式、整数、図形と方程式、積分　範囲評価、三角比の利用、回転・拡大、解と係数の関係、面積計算

方針

(1) は底が1未満の対数不等式に注意して2曲線の間の格子点を数える。(2) は余弦定理と角の二等分線定理を使う。(3) は傾きと直線上の一点を回転する。(4) は解と係数の関係で中点を求め，線分の掃引領域を x の範囲ごとに記述して積分する。

解答

(1) 真数条件は x>1, y>0 である。不等式はそれぞれ y>(x−1)2, y<3x+1 と同値である。2曲線の交点から x=2,3,4 だけを調べればよい。各 x=k に対する整数 y の個数は (3k+1)−(k−1)2−1=−k2+5k−1 だから，総数は 5+5+3=13 個である。

(2) 余弦定理より cos⁡C=1/2 なので，C=45∘ である。したがって[△ABC]=12⋅26(23−2)⋅12=6−23.角の二等分線定理から CD=CA⋅BC/(AB+CA)=46−62 である。△ACD に余弦定理を用いると AD2=(8−43)2 となるので，AD=8−43 である。

(3) 元の直線の傾き角を α とすると tan⁡α=2 であり，回転後の傾きは tan⁡(α+45∘)=−3 である。また，点 (3/2,0) は (32/4,32/4) へ移る。よって直線の方程式は y=−3x+32 である。

(4) 点 P における接線は y=2tx−t2 である。これと y=−(x+1)2 を連立して得る2次方程式の2解の和は −2(t+1) だから，中点の x 座標は −t−1 である。接線へ代入して Q=(−t−1,−3t2−2t) を得る。

線分 PQ の掃引領域は{2x−1≦y≦−3x2−4x−1,−2≦x<−1,2x−1≦y≦0,−1≦x<0,2x−1≦y≦x2,0≦x≦1である。したがって面積は∫−2−1(−3x2−6x) dx+∫−10(1−2x) dx+∫01(x2−2x+1) dx=133.

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出典: 上智大学 2024年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。