東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$$a_1\geqq a_2\geqq \cdots \geqq a_n$$，$$b_1\geqq b_2\geqq \cdots \geqq b_n$$ である。したがって，任意の $i,j$ について，$a_i-a_j$ と $b_i-b_j$ は同じ符号をもつか，少なくとも一方が0である。よって $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geqq 0$ である。

これをすべての $i,j$ について足し合わせると $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geqq 0$$ である。左辺を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i-a_j)(b_i-b_j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{i,j}{a}_i{b}_i-\sum _{i,j}{a}_i{b}_j-\sum _{i,j}{a}_j{b}_i+\sum _{i,j}{a}_j{b}_j\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\sum _{i,j}{a}_i{b}_i=n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i,\sum _{i,j}{a}_j{b}_j=n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$であり，また$$\sum _{i,j}{a}_i{b}_j=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j\right)$$である。同様に $$\sum _{i,j}{a}_j{b}_i$$ も同じ値である。したがって$$\sum _{i,j}(a_i-a_j)(b_i-b_j)=2n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i-2\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)$$である。

左辺は0以上だから、両辺を2で割って移項すれば$$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)\leqq n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$が示される。

$n$ 個の場合の積の平均と、2つの平均の積との差を考える。
$n-1$ 個から $n$ 個へ増やしたときの差を計算し、単調性によって追加項が非負になることを帰納法で示す。

次をおく。$$A_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{a}_i,B_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{b}_i,C_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i-A_n{B}_n\mathrm{.}$$示すべき不等式は $C_n\geqq 0$ と同値である。

$n=1$ では $C_1=0$ である。$n-1$ 個について $C_{n-1}\geqq 0$ と仮定する。
最初の $n-1$ 項の平均を $A_{n-1},B_{n-1}$ とすると、直接整理して$$C_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{C}_{n-1}+{\displaystyle \frac{n-1}{n^2}}(A_{n-1}-a_n)(B_{n-1}-b_n)$$を得る。

数列はともに降順だから$$A_{n-1}\geqq a_n,B_{n-1}\geqq b_n\mathrm{.}$$したがって右辺の2項はともに0以上であり、$C_n\geqq 0$ である。
帰納法によりすべての $n$ で $C_n\geqq 0$ が成り立つ。両辺を $n^2$ 倍すれば$$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)\leqq n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$を得る。