東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

点 $Q$ の回転角を $u$ とすると、点 $P$ はその2倍の角だけ動くので$$Q=(0,\sin u,\cos u),P=(\sin 2u,1+\cos 2u,0)\mathrm{.}$$$s=\sin u$ とおいて距離の二乗を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(\sin 2u{)}^2+(1+\cos 2u-\sin u{)}^2+{\cos }^{2}u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4s^3-4s^2-4s+5=g(s),-1\leqq s\leqq 1.}\end{array}$$ここで$$g^{\mathrm{\prime }}(s)=4(s-1)(3s+1)$$端点と導関数の零点を調べると、最大値の候補は $s=-1,-1\mathrm{/}3,1$ である。それぞれ$$g(-1)=g(1)=1,g(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{155}{27}}\mathrm{.}$$$\sin u=-1\mathrm{/}3$ となる時刻は存在するので、この値は実現する。したがって$$\max PQ=\sqrt{{\displaystyle \frac{155}{27}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{465}}{9}}\mathrm{.}$$

距離の二乗を $s=\sin u$ の三次式へ整理した後、微分を使わずに最大候補との差を因数分解する。
区間 $[-1,1]$ で各因子の符号を読む。

点 $Q$ の回転角を $u$ とすると$$P=(\sin 2u,1+\cos 2u,0),Q=(0,\sin u,\cos u)\mathrm{.}$$$s=\sin u$ とおいて距離の二乗を整理すると$$P{Q}^2=g(s)=4s^3-4s^2-4s+5,-1\leqq s\leqq 1.$$ここで$${\displaystyle \frac{155}{27}}-g(s)=-{\displaystyle \frac{4}{27}}(3s-5)(3s+1{)}^2={\displaystyle \frac{4}{27}}(5-3s)(3s+1{)}^2\mathrm{.}$$$-1\leqq s\leqq 1$ では $5-3s>0$ であり、平方因子も0以上だから$$g(s)\leqq {\displaystyle \frac{155}{27}}\mathrm{.}$$等号は $3s+1=0$、すなわち $s=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ のときに成立する。
$\sin u=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ となる時刻は実際に存在するので、この上限は達成される。
したがって$$\max PQ=\sqrt{{\displaystyle \frac{155}{27}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{465}}{9}}\mathrm{.}$$