東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

絶対値の中身は $6x-8$ であるから，$x=4\mathrm{/}3$ で場合分けする。 $x\leqq 4\mathrm{/}3$ のとき，$\mathrm{\mid }6x-8\mathrm{\mid }=8-6x$ なので $$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1+8-6x}{2(x^2+1)}}={\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{2(x^2+1)}}$$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-3)(3x+1)}{(x^2+1{)}^2}}$$ である。 $x\geqq 4\mathrm{/}3$ のとき，$\mathrm{\mid }6x-8\mathrm{\mid }=6x-8$ なので $$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1+6x-8}{2(x^2+1)}}={\displaystyle \frac{x^2+6x-7}{2(x^2+1)}}$$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{(x-3)(3x+1)}{(x^2+1{)}^2}}$$ である。

増減を調べる。$x\leqq 4\mathrm{/}3$ では，$x=-1\mathrm{/}3$ で導関数の符号が正から負に変わるので極大である。また，$x=4\mathrm{/}3$ の左側では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり，右側では $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ だから，$x=4\mathrm{/}3$ は極小である。$x\geqq 4\mathrm{/}3$ では，$x=3$ で導関数の符号が正から負に変わるので極大である。

値を計算すると $$f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{(-10\mathrm{/}3{)}^2}{2(1\mathrm{/}9+1)}}=5,$$ $$f\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)={\displaystyle \frac{(4\mathrm{/}3-3{)}^2}{2(16\mathrm{/}9+1)}}={\displaystyle \frac{1}{2}},$$ $$f(3)={\displaystyle \frac{9+18-7}{2(9+1)}}=1$$ である。したがって極値は$$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ で極大値 }5,x={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{ で極小値 }{\displaystyle \frac{1}{2}},x=3\text{ で極大値 }1$$である。

絶対値を外した各区間で、水平線 $y=m$ とグラフが接する条件を二次方程式の判別式で調べる。
滑らかな極値候補を求めた後、式の切替点 $x=4\mathrm{/}3$ を別に確認する。

まず $x\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$ では$$f(x)={\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{2(x^2+1)}}\mathrm{.}$$$f(x)=m$ は$$(1-2m)x^2-6x+9-2m=0$$と同値である。水平線がこの枝に接するとき判別式は0だから$$36-4(1-2m)(9-2m)=-16m(m-5)=0.$$$m=5$ の接点は $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ でこの区間内にあり、ここで極大値5をとる。
$m=0$ の接点 $x=3$ はこの区間外である。

次に $x\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$ では$$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x-7}{2(x^2+1)}}\mathrm{.}$$$f(x)=m$ の判別式は$$36-4(1-2m)(-7-2m)=-16(m-1)(m+4)\mathrm{.}$$$m=1$ の接点は $x=3$ でこの区間内にあり、ここで極大値1をとる。
$m=-4$ の接点は区間外である。

最後に切替点では$$f\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$左の枝はこの点へ向かって減少し、右の枝はこの点から増加するので極小値である。
したがって$$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ で極大値 }5,x={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{ で極小値 }{\displaystyle \frac{1}{2}},x=3\text{ で極大値 }1$$である。