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東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

u1→=(1, 0)，u2→=(0, 1)，u3→=(−1, −1)とする．

(1) 負でない整数の組(l, m)で，
ベクトルlu1→+mu2→+u3→の大きさが3以下となるものは
全部で何通りあるか．
(2) l+m+n≦6をみたす3つの負でない整数の組(l, m, n)で，
ベクトルlu1→+mu2→+nu3→の大きさが3以下となるものは
全部で何通りあるか．

難易度5/ 10計算量5/ 10目安14分

ベクトル、整数　座標設定、数え上げ、範囲評価

方針

与えられた3つのベクトルを成分表示し、条件を格子点の数え上げに直す。(1)では lu1→+mu2→+u3→=(l−1,m−1) なので、中心 (1,1)、半径3の円内にある非負格子点を数える。(2)では n を固定すると l,m の条件が (l−n)2+(m−n)2≦9、l+m≦6−n になる。n=0,1,2,3 だけを表で数え、n≧4 では不可能であることを確認する。

解答

(1) lu1→+mu2→+u3→=(l,m)+(−1,−1)=(l−1,m−1)である。したがって条件は (l−1)2+(m−1)2≦9,l,m≧0 である。 l ごとに数える。l−1 の値は −1,0,1,2,3 だけを考えればよい。l(l−1)2可能な m010,1,2,3100,1,2,3,4210,1,2,3340,1,2,3491したがって個数は 4+5+4+4+1=18 である。よって 18通り である。

(2) lu1→+mu2→+nu3→=(l−n,m−n)である。したがって条件は (l−n)2+(m−n)2≦9, l,m,n≧0,l+m+n≦6 である。 n を固定して数える。n≧4 のときは、中心 (n,n) に近い点を取ろうとしても l+m≦6−n≦2 となり、円内に入ることができない。したがって n=0,1,2,3 を調べればよい。n条件個数0l2+m2≦9, l+m≦6111(l−1)2+(m−1)2≦9, l+m≦5172(l−2)2+(m−2)2≦9, l+m≦4153(l−3)2+(m−3)2≦9, l+m≦35各行は、該当する小さな三角形領域内の格子点を直接数えたものである。したがって合計は 11+17+15+5=48 である。よって 48通り である。

別解

解法2

方針

各 m に対する許される l の個数を表にする。(2)は n ごとに同じ横切りを行う。

解答

(1)

条件は(l−1)2+(m−1)2≦9.m ごとの l の範囲と個数はm01234l の範囲0 ⁣: ⁣30 ⁣: ⁣40 ⁣: ⁣30 ⁣: ⁣31個数45441だから合計は 18 通りである。

(2)

n を固定すると(l−n)2+(m−n)2≦9,l+m≦6−n.各 n で、m ごとの個数を横に並べるとnm ごとの個数合計04,3,3,11114,5,4,3,11725,4,3,2,11531,2,1,15である。n≧4 では条件を満たさない。よって11+17+15+5=48通りである。

総評

ベクトルの問題に見えるが、実質は円内の格子点を数える問題である。目安時間は14分程度。(1)は表にして数えると漏れが少ない。(2)は n ごとに中心が (n,n) へ移り、同時に l+m≦6−n の三角形が小さくなる。図を描くか、各 n の小表を作ると安定する。最終答案では、単に数だけを書くより、どの条件の格子点を数えたかを明示したい。

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出典: 東北大学 1999年度 後期 文系 第4問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。