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東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

空間に4点O，A，B，Cがあり，OA→=(2, 2, 2),OB→=(a, −2, 1),OC→=(x, y, z)とする．OC→はOA→およびOB→と直交し，
OC→の大きさはlである．
また，AC→とBC→は直交する．

(1) lをaで表せ．
(2) l=1が成り立つときのOC→を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安20分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算、範囲評価

方針

OC→ が OA→, OB→ の両方に垂直であることを使い、AC→⋅BC→=0 を展開して l2 と a を結びつける。l=1 の場合はまず a を決め、次に連立一次方程式から OC→ の方向を求め、長さ1になるように正規化する。

解答

(1) OA→=(2,2,2), OB→=(a,−2,1), OC→=(x,y,z) とする。条件よりOC→⋅OA→=0,OC→⋅OB→=0である。また AC⊥BC だから(OC→−OA→)⋅(OC→−OB→)=0である。左辺を展開すると∣OC→∣2−OC→⋅OB→−OA→⋅OC→+OA→⋅OB→=0となる。中央の2項は0なので l2+OA→⋅OB→=0 である。ここで OA→⋅OB→=2a−4+2=2a−2 だから l2=2−2a である。l>0 より l=2−2a,a<1 である。

(2) l=1 のとき、(1)より 1=2−2a であるから a=12 である。このとき OB→=(1/2,−2,1) である。OC→=(x,y,z) は OA→, OB→ に垂直なので x+y+z=0 および 12x−2y+z=0 を満たす。これを解くと、方向は (x,y,z)=t(6,−1,−5) と表せる。長さが1であるから ∣t∣62+(−1)2+(−5)2=∣t∣62=1 であり、t=±162 である。したがってOC→=162(6,−1,−5)またはOC→=−162(6,−1,−5)である。

別解

解法2

方針

OCはOAとOBの外積方向にある。外積で方向を一度に求め、AC・BCの直交条件で長さを決める。l=1では外積を正規化する。

解答

二つのベクトルの外積を計算するとOA→×OB→=(6, 2a−2, −2a−4).OC→ はこの方向に平行である。

(1) AC→⋅BC→=(OC→−OA→)⋅(OC→−OB→)=0.OC→ は OA→,OB→ の両方に垂直なのでl2+OA→⋅OB→=0.OA→⋅OB→=2a−2よりl=2−2a.l>0 だから、この条件のもとでは a<1 である。

(2)

l=1 から a=1/2 である。このとき外積方向は(6,−1,−5).その長さは 62 なのでOC→=±162(6,−1,−5).

総評

難度6、計算量5。目安時間は20分。空間ベクトルの直交条件を内積で処理する標準問題である。AC⊥BC を直接座標で広げるより、OC→ が2本のベクトルに垂直であることを先に使うと式が一気に短くなる。後半は方向ベクトルを求めるだけで終わらせず、長さ1への正規化と符号の2通りを必ず書く。 答案では l2 で止めず、l=2−2a と存在条件 a<1 まで明記する。

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出典: 東北大学 1998年度 後期 文系 第1問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。