東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

直線$AB$は $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$ である。$OP$の傾きが$m$であるから、$P=(x,mx)$とおくと $mx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$ より $$P=({\displaystyle \frac{4}{2m+1}},{\displaystyle \frac{4m}{2m+1}})$$ である。 $\mathrm{\angle }OPB=\mathrm{\angle }QPA$を傾きで表して整理すると、$Q$の$x$座標を$X$として $$X={\displaystyle \frac{8(2-m)}{3m+4}}$$ を得る。したがって求める値は ${\displaystyle \frac{8(2-m)}{3m+4}}$ である。

角条件の計算を詳しく書く。直線 $AB$ の傾きは $-1\mathrm{/}2$ である。直線 $OP$ の傾きは $m$，直線 $PQ$ の傾きを $s$ とすると，$AB$ をはさんで等しい角を作るので $${\displaystyle \frac{s+1\mathrm{/}2}{1-s\mathrm{/}2}}=-{\displaystyle \frac{m+1\mathrm{/}2}{1-m\mathrm{/}2}}$$ である。これを解くと $$s=-{\displaystyle \frac{3m+4}{3-4m}}$$ となる。

また $$P=({\displaystyle \frac{4}{2m+1}},{\displaystyle \frac{4m}{2m+1}})$$ であり，$Q=(X,0)$ とすれば $$s={\displaystyle \frac{0-4m\mathrm{/}(2m+1)}{X-4\mathrm{/}(2m+1)}}\mathrm{.}$$ これに上の $s$ を代入して整理すると $$X={\displaystyle \frac{8(2-m)}{3m+4}}$$ を得る。

直線ABの方向角を α、OPの方向角を β とし、等角条件からPQの方向角を $2\alpha -\beta$ とする。二倍角の正接でPQの傾きを出し、Pを通ってx軸と交わる点を求める。

直線 $AB$ の方向角を $\alpha$ とすると$$\tan \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}},\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$直線 $OP$ の方向角を $\beta$ とすれば $\tan \beta =m$ である。等角条件から直線 $PQ$ は直線 $OP$ を $AB$ に関して反射した方向を持つので、その傾き $s$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s}& {\displaystyle =\tan (2\alpha -\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-4\mathrm{/}3-m}{1-(4\mathrm{/}3)m}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{3m+4}{3-4m}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$P$ は $y=mx$ と $y=-x\mathrm{/}2+2$ の交点だから$$P=({\displaystyle \frac{4}{2m+1}},{\displaystyle \frac{4m}{2m+1}})\mathrm{.}$$$Q=(X,0)$ とすると$$s={\displaystyle \frac{-4m\mathrm{/}(2m+1)}{X-4\mathrm{/}(2m+1)}}\mathrm{.}$$上の $s$ を代入して解けば$$X={\displaystyle \frac{8(2-m)}{3m+4}}\mathrm{.}$$なお $P$ が線分 $AB$ 上で $OP$ の傾きが定義されるため、$m\geqq 0$ の範囲で考えている。