東北大学 2000年度 後期日程理系（後期）数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{u}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}},\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }}},\overrightarrow{w}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{c}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{c}\mathrm{\mid }}}$$とおく。これらはいずれも単位ベクトルであり、仮定より $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$$ である。したがって $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w}$$ である。両辺の長さの2乗を取ると $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }-\overrightarrow{w}{\mathrm{\mid }}^2=1$$ である。一方、左辺は$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$$だから $$2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1$$ すなわち $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角は ${120}^{\circ }$ である。同様に他の2組についてもなす角はすべて ${120}^{\circ }$ である。

(2) $$\overrightarrow{e}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}}$$ とおくと、$\overrightarrow{e}$ は単位ベクトルである。任意のベクトル $\overrightarrow{y}$ について、内積の定義から$$\overrightarrow{y}\cdot \overrightarrow{e}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{y}\mathrm{\mid }\cos \varphi \leqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{y}\mathrm{\mid }$$である。ここで $\varphi$ は $\overrightarrow{y}$ と $\overrightarrow{e}$ のなす角である。 $$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x}$$ とすれば$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x}\mathrm{\mid }\geqq (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}}-\overrightarrow{x}\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}}$$である。右辺は$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }-\overrightarrow{x}\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}}$$なので、示すべき不等式が成り立つ。

(3)
三角形 $ABC$ のすべての内角が ${120}^{\circ }$ 未満であるとき、内部に $$\mathrm{\angle }AXB=\mathrm{\angle }BXC=\mathrm{\angle }CXA={120}^{\circ }$$ を満たす点 $X$ がただ1つ存在する。この点を取る。

任意の点 $Y$ に対して、$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{XY}$$ とおく。(2)を$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{XA},\overrightarrow{XB},\overrightarrow{XC}$$にそれぞれ適用すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{YA}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XY}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{XA}\mathrm{\mid }-\overrightarrow{XY}\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{XA}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{XA}\mathrm{\mid }}}$$である。同様の不等式を $B,C$ についても書いて加えると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{YA}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{YB}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{YC}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{XA}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{XB}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{XC}\mathrm{\mid }-\overrightarrow{XY}\cdot ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{XA}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{XA}\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{XB}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{XB}\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{XC}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{XC}\mathrm{\mid }}})$$である。

点 $X$ では3本の方向が互いに ${120}^{\circ }$ をなすので、(1)より括弧内の単位ベクトルの和は $\overrightarrow{0}$ である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{YA}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{YB}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{YC}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{XA}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{XB}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{XC}\mathrm{\mid }$$である。よって距離の和を最小にする点は、三角形の内部で $$\mathrm{\angle }AXB=\mathrm{\angle }BXC=\mathrm{\angle }CXA={120}^{\circ }$$ を満たす点である。

(3) では正三角形を外側に作り、60度回転で3本の距離を1本の折れ線へ変える。三角不等式の等号条件から120度点を特徴づける。

(1)
単位ベクトルを $\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}$ とすると$$\mathit{u}+\mathit{v}+\mathit{w}=\mathbf{0}\mathrm{.}$$$$\mathit{u}+\mathit{v}=-\mathit{w}$$ の長さの2乗を取れば$$2+2\mathit{u}\cdot \mathit{v}=1,$$よって $$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=-1\mathrm{/}2$$ である。他の組も同様なので、互いになす角は
すべて ${120}^{\circ }$ である。

(2) $$\mathit{e}=\mathit{a}\mathrm{/}\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }$$ とおく。任意の $\mathit{y}$ に対し$$\mathit{y}\cdot \mathit{e}\leqq \mathrm{\mid }\mathit{y}\mathrm{\mid }$$だから、$$\mathit{y}=\mathit{a}-\mathit{x}$$ とすれば$$\mathrm{\mid }\mathit{a}-\mathit{x}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }-\mathit{x}\cdot {\displaystyle \frac{\mathit{a}}{\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$(3)
辺 $AB$ の三角形と反対側に正三角形 $ABP$ を作る。任意の点 $Y$ を $A$ のまわりに
${60}^{\circ }$ 回転した点を $Y^{\mathrm{\prime }}$ とすると$$Y{Y}^{\mathrm{\prime }}=YA,Y^{\mathrm{\prime }}P=YB\mathrm{.}$$したがって三角不等式より$$YA+YB+YC=Y{Y}^{\mathrm{\prime }}+Y^{\mathrm{\prime }}P+YC\geqq CP\mathrm{.}$$等号は $C,Y,Y^{\mathrm{\prime }},P$ がこの順に一直線上にあるときに限る。このとき回転角が ${60}^{\circ }$
であることから$$\mathrm{\angle }AYB=\mathrm{\angle }BYC=\mathrm{\angle }CYA={120}^{\circ }\mathrm{.}$$全内角が ${120}^{\circ }$ 未満なら、この条件を満たす点 $Y$ は三角形の内部にただ1つ存在する。
よって求める点は、3頂点を見込む角がすべて ${120}^{\circ }$ となる点である。