東北大学 2001年度 前期日程文系数学 第3問

赤玉の個数だけに注目する。赤玉が $r$ 個あるとき、1回の試行で赤玉を引く確率は $r\mathrm{/}4$ であり、このとき赤玉は1個減る。白玉を引く確率は $(4-r)\mathrm{/}4$ であり、このとき赤玉の個数は変わらない。

(1)

最初は赤玉が2個である。白玉4個になるには、残っている2個の赤玉をともに引けばよい。

2回で終わる確率は $${\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

3回目で初めて終わる場合は、最初の2回のうち1回だけ白玉を引き、もう1回で赤玉を1個引き、3回目に最後の赤玉を引く。白玉を引く位置で分けると、$${\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{32}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{5}{32}}$$である。したがって、3回以下で白玉4個になる確率は $${\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{32}}={\displaystyle \frac{9}{32}}$$ である。

(2)

最初は赤玉が3個である。白玉4個になるには、赤玉を3回引く必要がある。赤玉の個数が3,2,1の段階で赤玉を引く確率はそれぞれ ${\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

3回の赤玉を引く前に出る白玉の回数を、それぞれ $e_1,e_2,e_3$ とする。5回以下で終わるには、赤玉3回のほかに出る白玉が高々2回であるから $e_1+e_2+e_3\leqq 2$ である。基礎となる赤玉3回の確率は $${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{32}}$$ であり、白玉が第1段階、第2段階、第3段階で1回出るごとに、それぞれ $1\mathrm{/}4,1\mathrm{/}2,3\mathrm{/}4$ が掛かる。

よって求める確率は$${\displaystyle \frac{3}{32}}\sum _{e_1+e_2+e_3\leqq 2}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{e_1}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{e_2}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{e_3}$$である。この和を、白玉の総数で分けて計算すると、$$1+({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}})+({\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{8}})=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{25}{16}}={\displaystyle \frac{65}{16}}$$である。したがって $${\displaystyle \frac{3}{32}}\cdot {\displaystyle \frac{65}{16}}={\displaystyle \frac{195}{512}}$$ である。

試行後の赤玉の個数だけを状態とし、
確率 $P_n(r)$ の漸化式を作る。初期分布から必要な回数だけ
表を進め、状態0の確率を読む。

(1)

$P_n(r)$ を、$n$ 回後に赤玉が $r$ 個である確率とする。
状態 $r$ へは、状態 $r$ で白を引くか、状態 $r+1$ で赤を引くことで移るから$$P_{n+1}(r)={\displaystyle \frac{4-r}{4}}{P}_n(r)+{\displaystyle \frac{r+1}{4}}{P}_n(r+1)\mathrm{.}$$初期状態を $P_0(2)=1$ として進めると$$P_2(0)={\displaystyle \frac{1}{8}},P_2(1)={\displaystyle \frac{5}{8}}\mathrm{.}$$状態0はその後変わらないので$$P_3(0)=P_2(0)+{\displaystyle \frac{1}{4}}{P}_2(1)={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{32}}={\displaystyle \frac{9}{32}}\mathrm{.}$$(2)

初期状態を $P_0(3)=1$ とする。同じ漸化式を順に用いると$$\begin{array}{ccccc}n& r=0& r=1& r=2& r=3\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 3\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}4\\ 2& 0& 3\mathrm{/}16& 9\mathrm{/}16& 1\mathrm{/}16\\ 3& 3\mathrm{/}64& 18\mathrm{/}64& 27\mathrm{/}64& 1\mathrm{/}64\\ 4& 30\mathrm{/}256& 87\mathrm{/}256& 54\mathrm{/}256& 1\mathrm{/}256\\ 5& 195\mathrm{/}512& \text{multicolumn}3c\text{残りは状態1以上}\end{array}$$となる。よって5回以下で白玉4個となる確率は$${\displaystyle \frac{195}{512}}\mathrm{.}$$