東北大学 2000年度 前期日程理系数学 第4問

1回の移動量は、出た目ごとに$$1\mapsto +1,2,3\mapsto +2,4\mapsto -1,5,6\mapsto -2$$である。5回のうち、$+1,+2,-1,-2$ が出る回数をそれぞれ $a,b,c,d$ とする。5回振るので $a+b+c+d=5$ であり、5回後に原点にある条件は $a+2b-c-2d=0$ である。

この2式を満たす非負整数の組を調べると $$(a,b,c,d)=(0,2,2,1),(1,1,3,0),(2,1,0,2),(3,0,1,1)$$ である。それぞれについて、$+2$ の各回には2通り、$-2$ の各回にも2通りの目があるから、該当する出方の数は$$\begin{array}{cc}(a,b,c,d)& \text{出方の数}\\ (0,2,2,1)& {\displaystyle \frac{5!}{0!2!2!1!}}{2}^{2+1}=240\\ (1,1,3,0)& {\displaystyle \frac{5!}{1!1!3!0!}}{2}^{1+0}=40\\ (2,1,0,2)& {\displaystyle \frac{5!}{2!1!0!2!}}{2}^{1+2}=240\\ (3,0,1,1)& {\displaystyle \frac{5!}{3!0!1!1!}}{2}^{0+1}=40\end{array}$$である。したがって原点に戻る出方は $240+40+240+40=560$ 通りである。

全事象は $6^5$ 通りなので、求める確率は $${\displaystyle \frac{560}{6^5}}={\displaystyle \frac{560}{7776}}={\displaystyle \frac{35}{486}}$$ である。

1回の移動をLaurent多項式で表し、5乗の定数項を求める。指数が0になる項だけを、正負の1歩・2歩の個数に分けて抽出する。

1回のさいころ投げに対し、移動後の位置を $x$ の指数で記録する母関数を$$F(x)=x+2x^2+x^{-1}+2x^{-2}$$とする。5回後に原点へ戻る出方の数は $F(x{)}^5$ の定数項である。

$+1,+2,-1,-2$ を選ぶ回数を $a,b,c,d$ とすると、定数項を作る条件は$$a+b+c+d=5,a+2b-c-2d=0.$$第2式を第1式と合わせて調べると$$(a,b,c,d)=(0,2,2,1),(1,1,3,0),(2,1,0,2),(3,0,1,1)$$だけである。したがって定数項は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [x^0]F(x{)}^5}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!}}{2}^3+{\displaystyle \frac{5!}{1!1!3!}}2+{\displaystyle \frac{5!}{2!1!2!}}{2}^3+{\displaystyle \frac{5!}{3!1!1!}}2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =240+40+240+40=560.}\end{array}$$全事象は $6^5$ 通りだから、求める確率は$${\displaystyle \frac{560}{6^5}}={\displaystyle \frac{35}{486}}\mathrm{.}$$