東北大学 2000年度 後期日程文系（後期）数学 第4問

8回のうち、硬貨 $A$ が表であった回数を $H_A$、硬貨 $B$ が表であった回数を $H_B$ とする。$A$ が表なら $x$ は $1$ 増え、裏なら $1$ 減るので、出発点の $x=-1$ から $x=-1+H_A-(8-H_A)=2H_A-9$ である。同様に、出発点の $y=5$ から $y=5+H_B-(8-H_B)=2H_B-3$ である。$H_A$ と $H_B$ は独立で、それぞれ8回の公平な硬貨投げの表の回数である。

(1) $y=1$ は $2H_B-3=1$ より $H_B=2$ と同値である。したがって確率は $${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{2^8}}={\displaystyle \frac{28}{256}}={\displaystyle \frac{7}{64}}$$ である。

(2) $(x,y)=(1,1)$ は $$2H_A-9=1,2H_B-3=1$$ より $H_A=5,H_B=2$ である。独立性から$${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_5}{2^8}}\cdot {\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{2^8}}={\displaystyle \frac{56\cdot 28}{2^{16}}}={\displaystyle \frac{49}{2048}}$$である。

(3) $x=1$ は $H_A=5$ である。また $y>1$ は $2H_B-3>1$ より $H_B\geqq 3$ である。したがって $$P(H_A=5)={\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_5}{2^8}}={\displaystyle \frac{56}{256}}$$ であり、$$P(H_B\geqq 3)=1-{\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_0+{}_8{\mathrm{C}}_1+{}_8{\mathrm{C}}_2}{2^8}}=1-{\displaystyle \frac{1+8+28}{256}}={\displaystyle \frac{219}{256}}$$である。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{56}{256}}\cdot {\displaystyle \frac{219}{256}}={\displaystyle \frac{1533}{8192}}$$ である。

(4) $x>1$ は $2H_A-9>1$ より $H_A\geqq 6$ である。したがって$$P(H_A\geqq 6)={\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_6+{}_8{\mathrm{C}}_7+{}_8{\mathrm{C}}_8}{2^8}}={\displaystyle \frac{28+8+1}{256}}={\displaystyle \frac{37}{256}}$$である。$y>1$ は(3)と同じく $H_B\geqq 3$ なので、求める確率は $${\displaystyle \frac{37}{256}}\cdot {\displaystyle \frac{219}{256}}={\displaystyle \frac{8103}{65536}}$$ である。

2変数生成関数で8回後の座標を記録し、必要な係数を二項係数として読む。$x$ 方向と $y$ 方向の独立性も式から同時に確認する。

1回の試行に対応する変位生成関数は$${\displaystyle \frac{(u+u^{-1})(v+v^{-1})}{4}}$$である。8回後、出発点 $(-1,5)$ からの変位が $(\xi ,\eta )$ となる確率は$${\displaystyle \frac{[u^{\xi }](u+u^{-1}{)}^8}{2^8}}\cdot {\displaystyle \frac{[v^{\eta }](v+v^{-1}{)}^8}{2^8}}\mathrm{.}$$ここで$$[u^{2h-8}](u+u^{-1}{)}^8={}_8{\mathrm{C}}_h\mathrm{.}$$(1)
$y=1$ は $\eta =-4$、すなわち $h=2$ なので$${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{2^8}}={\displaystyle \frac{7}{64}}\mathrm{.}$$(2)
$x=1$ は $\xi =2$ で $h=5$、$y=1$ は $h=2$ だから$${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_5{}_8{\mathrm{C}}_2}{2^{16}}}={\displaystyle \frac{49}{2048}}\mathrm{.}$$(3)
$x=1$ かつ $y>1$ は、$x$ 方向の表が5回、$y$ 方向の表が3回以上である。よって$${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_5}{2^8}}\cdot {\displaystyle \frac{2^8-({}_8{\mathrm{C}}_0+{}_8{\mathrm{C}}_1+{}_8{\mathrm{C}}_2)}{2^8}}={\displaystyle \frac{1533}{8192}}\mathrm{.}$$(4)
$x>1$ は表が6回以上、$y>1$ は表が3回以上だから$${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_6+{}_8{\mathrm{C}}_7+{}_8{\mathrm{C}}_8}{2^8}}\cdot {\displaystyle \frac{219}{256}}={\displaystyle \frac{8103}{65536}}\mathrm{.}$$