東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

表から必要な確率を整理する。赤箱、白箱、黒箱から赤玉を取り出す確率はそれぞれ ${\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。また、白箱から白玉を取り出す確率は $1\mathrm{/}5$、白箱から黒玉を取り出す確率は $2\mathrm{/}5$ であり、赤箱から白玉を取り出す確率は $1\mathrm{/}6$、赤箱から黒玉を取り出す確率は $1\mathrm{/}2$ である。

(1)
ちょうど4回で終了するには、2回目、3回目、4回目が赤玉であり、1回目は赤玉でない必要がある。1回目は白箱から取り出すので、1回目が白玉の場合と黒玉の場合に分ける。

1回目が白玉なら、2回目は白箱から赤玉、3回目と4回目は赤箱から赤玉を取り出す。確率は ${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。1回目が黒玉なら、2回目は黒箱から赤玉、3回目と4回目は赤箱から赤玉を取り出す。確率は ${\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。したがって$${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{225}}$$である。

(2)
1回目が赤玉で、ちょうど5回で終了するには、2回目は赤玉でなく、3回目、4回目、5回目が赤玉でなければならない。1回目が赤玉である確率は $2\mathrm{/}5$ であり、2回目は赤箱から取り出す。

2回目が白玉なら、3回目は白箱から赤玉、4回目と5回目は赤箱から赤玉を取り出す。2回目が黒玉なら、3回目は黒箱から赤玉、4回目と5回目は赤箱から赤玉を取り出す。よって$${\displaystyle \frac{2}{5}}({\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{19}{1350}}$$である。

(3)
求めるのは、1回目が赤玉で、かつ5回目までに終了しない確率である。まず1回目が赤玉である確率は ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ である。

この条件のもとで5回目までに終了する場合を引く。1回目が赤玉のとき、3回目で終了する確率は $${\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{45}}$$ である。4回目で初めて終了することはできない。なぜなら、4回目で終了するには2回目から4回目までが赤玉である必要があるが、そのとき1回目も赤玉なら3回目で既に終了しているからである。5回目で終了する確率は(2)で求めた ${\displaystyle \frac{19}{1350}}$ である。

したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{45}}-{\displaystyle \frac{19}{1350}}={\displaystyle \frac{461}{1350}}$$ である。

連続する赤玉の本数を状態にする

直前までの連続赤玉数を0,1,2の状態として追う。短い時刻なので、終了時刻3,4,5に至る色列を状態遷移として列挙し、各箱での赤玉確率を掛ける。

赤箱・白箱・黒箱から赤玉を引く確率はそれぞれ$${\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(1)
4回目に初めて連続赤3個となる色列は$$WRRR,BRRR$$だけである。したがって$${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{225}}\mathrm{.}$$(2)
1回目が赤で5回目終了なら、2回目は非赤、3〜5回目は赤である。2回目が白または黒の場合を足して$${\displaystyle \frac{2}{5}}({\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{19}{1350}}\mathrm{.}$$(3)
1回目が赤で、5回目までに終わるのは3回目終了または小問(2)だけである。よって$${\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{19}{1350}}={\displaystyle \frac{461}{1350}}\mathrm{.}$$