東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AC},\vec{w}=\overrightarrow{AD}$$とおく。正四面体の各辺の長さは1であるから $$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }=1$$ であり、また各面は正三角形なので $$\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{w}\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。 $$\overrightarrow{AP}=l\vec{u}+m\vec{v}+n\vec{w}$$ より $$\overrightarrow{BP}=(l-1)\vec{u}+m\vec{v}+n\vec{w}$$ である。同様に$$\overrightarrow{CP}=l\vec{u}+(m-1)\vec{v}+n\vec{w},\overrightarrow{DP}=l\vec{u}+m\vec{v}+(n-1)\vec{w}$$である。 $\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2$ を計算すると、共通する項が消えて $\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2=2(m-l)$ となる。$\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }CP\mathrm{\mid }$ だから $l=m$ である。同様に $\mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }DP{\mathrm{\mid }}^2=2(n-m)$ より $m=n$ である。したがって $l=m=n$ が成り立つ。

この共通値を改めて $l$ と書くと $$\overrightarrow{BP}=(l-1)\vec{u}+l\vec{v}+l\vec{w}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(l-1{)}^2+l^2+l^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2(l-1)l\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2(l-1)l\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2l^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6l^2-4l+1}\end{array}$$である。したがって $$\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=\sqrt{6l^2-4l+1}$$ である。

(2)
座標を$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0),D=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$とおく。

四面体 $PBCD$ が正四面体になる点は、平面BCDを底面とする正四面体の頂点である。一方の頂点はAであり、PはAと異なるので、PはAを平面BCDに関して反対側へ移した点である。計算すると $$P=({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}})$$ である。また、四面体 $QABC$ について同様に、QはDを平面ABCの反対側へ移した点であり $$Q=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}})$$ である。

したがって$$\overrightarrow{BP}=({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}}),\overrightarrow{BQ}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}})$$である。どちらも長さは1であり、内積は$$\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BQ}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}=-{\displaystyle \frac{7}{18}}$$である。よって $$\cos \mathrm{\angle }PBQ=-{\displaystyle \frac{7}{18}}$$ である。

【正四面体の反対側の頂点】

頂点 $A$ からの3辺ベクトルについて、長さと互いの内積を使う。(1)は距離平方の差を線形に整理する。(2)は正四面体の頂点が底面に関する鏡映で得られることを使い、座標計算を最小限にする。

(1) $$\mathit{b}=\overrightarrow{AB}$$, $$\mathit{c}=\overrightarrow{AC}$$, $$\mathit{d}=\overrightarrow{AD}$$ と置くと$$\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{c}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{d}\mathrm{\mid }=1,\mathit{b}\cdot \mathit{c}=\mathit{c}\cdot \mathit{d}=\mathit{d}\cdot \mathit{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$$\overrightarrow{AP}=l\mathit{b}+m\mathit{c}+n\mathit{d}$$ を用い、$\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2=0$ を展開すると $m-l=0$、同様に $n-l=0$ となる。よって $l=m=n$ である。

このとき$$\overrightarrow{BP}=(l-1)\mathit{b}+l\mathit{c}+l\mathit{d}$$だから$$\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2=6l^2-4l+1,\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=\sqrt{6l^2-4l+1}\mathrm{.}$$(2)
$P$ は $A$ の平面 $BCD$ に関する鏡映、$Q$ は $D$ の平面 $ABC$ に関する鏡映である。標準座標で鏡映ベクトルを計算すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BP}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BQ}\mathrm{\mid }=1,\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BQ}=-{\displaystyle \frac{7}{18}}\mathrm{.}$$したがって$$\cos \mathrm{\angle }PBQ=-{\displaystyle \frac{7}{18}}\mathrm{.}$$