東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

楕円E上の点Pを $$P=(a\cos \theta ,b\sin \theta ),0<\theta <{90}^{\circ }$$ とおく。

Pにおける接線は $${\displaystyle \frac{x\cos \theta }{a}}+{\displaystyle \frac{y\sin \theta }{b}}=1$$ である。$x=0$ とすると、接線がy軸と交わる点のy座標は $$h={\displaystyle \frac{b}{\sin \theta }}$$ である。

次に法線を求める。楕円の接線の傾きは $-{\displaystyle \frac{b\cos \theta }{a\sin \theta }}$ であるから、法線の傾きは ${\displaystyle \frac{a\sin \theta }{b\cos \theta }}$ である。したがって法線は $$y-b\sin \theta ={\displaystyle \frac{a\sin \theta }{b\cos \theta }}(x-a\cos \theta )$$ である。ここに $x=0$ を代入すると $$k=b\sin \theta -{\displaystyle \frac{a^2\sin \theta }{b}}=-{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}\sin \theta$$ である。

よって $$L=h-k={\displaystyle \frac{b}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}\sin \theta$$ である。ここで $s=\sin \theta$ とおくと、$0<s<1$ であり $$L={\displaystyle \frac{b}{s}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}s$$ である。 $a>b>0$ なので $(a^2-b^2)\mathrm{/}b>0$ である。相加相乗平均より ${\displaystyle \frac{b}{s}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}s\geqq 2\sqrt{a^2-b^2}$ であり、等号は $${\displaystyle \frac{b}{s}}={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}s$$ すなわち $$s={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}}$$ のときに成り立つ。

この値が開区間 $0<s<1$ に入るための条件は $${\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}}<1$$ である。これは $b^2<a^2-b^2$ すなわち $a>\sqrt{2}b$ である。

この条件が成り立つとき、Lの最小値は $2\sqrt{a^2-b^2}$ である。$a\leqq \sqrt{2}b$ のときは、最小を与えるはずの $s$ が $s\geqq 1$ となり、第1象限では $s=1$ が含まれないため、最小値は存在しない。

$L(s)=b\mathrm{/}s+(a^2-b^2)s\mathrm{/}b$

$s=\sin \theta$ として得られる $L(s)$ を直接微分する。定義域が開区間 $0<s<1$ であるため、停留点が内部に入る条件と、端点 $s=1$ が除外されることを明確にする。

接線と法線の $y$ 切片から$$L(s)={\displaystyle \frac{b}{s}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}s,0<s<1$$を得る。微分すると$$L^{\mathrm{\prime }}(s)=-{\displaystyle \frac{b}{s^2}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{b}}\mathrm{.}$$停留点は$$s_0={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}}$$であり、$L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(s)=2b\mathrm{/}{s}^3>0$ なので、定義域内なら唯一の最小点である。

$s_0<1$ は$$b^2<a^2-b^2,a>\sqrt{2}b$$と同値である。このとき$$L_{\min }=L(s_0)=2\sqrt{a^2-b^2}\mathrm{.}$$$a\leqq \sqrt{2}b$ では $L$ は $0<s<1$ で減少し、下限は $s\to 1-0$ で近づくだけで達成されない。