東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $A$ を原点とし、$$\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$$ とおく。条件より$$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=2,\vec{b}\cdot \vec{c}=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }\cos {60}^{\circ }=1$$である。 $M=m+n$ とおく。点 $D$ は辺 $BC$ を $m:n$ に内分するので $$\overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{n\vec{b}+m\vec{c}}{M}}$$ である。同様に、点 $E$ は辺 $CA$ を $m:n$ に、点 $F$ は辺 $AB$ を $m:n$ に内分するから$$\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{n\vec{c}}{M}},\overrightarrow{AF}={\displaystyle \frac{m\vec{b}}{M}}$$である。

したがって$$\overrightarrow{DE}={\displaystyle \frac{-n\vec{b}+(n-m)\vec{c}}{M}},\overrightarrow{EF}={\displaystyle \frac{m\vec{b}-n\vec{c}}{M}}$$である。内積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M^2\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{EF}}& {\displaystyle =(-n\vec{b}+(n-m)\vec{c})\cdot (m\vec{b}-n\vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-mn\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+n^2\vec{b}\cdot \vec{c}+m(n-m)\vec{c}\cdot \vec{b}-n(n-m)\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-mn+n^2+m(n-m)-4n(n-m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-m^2+4mn-3n^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(m-n)(m-3n)\mathrm{.}}\end{array}$$よって $\overrightarrow{DE}\perp \overrightarrow{EF}$ となる条件は $(m-n)(m-3n)=0$ である。$m,n$ は正なので、求める比は $m:n=1:1,m:n=3:1$ である。

(2)

同じ表示を用いると$$\overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{n\vec{b}+m\vec{c}}{M}},\overrightarrow{EF}={\displaystyle \frac{m\vec{b}-n\vec{c}}{M}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M^2\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EF}}& {\displaystyle =(n\vec{b}+m\vec{c})\cdot (m\vec{b}-n\vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =mn\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-n^2\vec{b}\cdot \vec{c}+m^2\vec{c}\cdot \vec{b}-mn\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =mn-n^2+m^2-4mn}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =m^2-3mn-n^2\mathrm{.}}\end{array}$$もし $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{EF}$ が垂直なら $m^2-3mn-n^2=0$ である。$n>0$ なので $r=m\mathrm{/}n$ とおくと $r^2-3r-1=0$ である。よって $$r={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}}$$ である。正の比なので $${\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}}$$ でなければならない。

しかし $m,n$ が正の整数なら $m\mathrm{/}n$ は有理数である。一方、$(3+\sqrt{13})\mathrm{/}2$ は無理数である。したがって、どのような正の整数 $m,n$ に対しても $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{EF}$ は垂直でない。

【3辺の内分点】

$A=(0,0),B=(1,0),C=(1,\sqrt{3})$ と具体的に座標を置く。3つの内分点を座標表示すれば、(1),(2)はいずれも内積が0になる条件を二次式として直接読める。

座標を$$A=(0,0),B=(1,0),C=(1,\sqrt{3})$$と置き、$M=m+n$ とする。内分公式より$$D=(1,{\displaystyle \frac{m\sqrt{3}}{M}}),E=({\displaystyle \frac{n}{M}},{\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{M}}),F=({\displaystyle \frac{m}{M}},0)\mathrm{.}$$(1)$$\overrightarrow{DE}={\displaystyle \frac{1}{M}}(-m,n\sqrt{3}-m\sqrt{3}),\overrightarrow{EF}={\displaystyle \frac{1}{M}}(m-n,-n\sqrt{3})\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M^2\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{EF}}& {\displaystyle =-m(m-n)-3n(n-m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(m-n)(m-3n)\mathrm{.}}\end{array}$$これが0になる正の比は$$m:n=1:1,3:1$$である。

(2) $$\overrightarrow{AD}=(1,{\displaystyle \frac{m\sqrt{3}}{M}})$$だから$$M^2\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EF}=M(m-n)-3mn=m^2-3mn-n^2\mathrm{.}$$垂直だと仮定すると$${\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^2-3{\displaystyle \frac{m}{n}}-1=0,$$したがって正の比は$${\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}}$$でなければならない。しかし左辺は $m,n$ が正の整数なら有理数、右辺は無理数である。よってそのような正の整数 $m,n$ は存在しない。