東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)

点 $A$ を原点とし、$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$$とおく。点 $M$ は辺 $AB$ 上にあり、点 $N$ は辺 $AC$ 上にあるので$$\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{b},\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow{c}$$とおける。ただし $0<\lambda <1$、$0<\mu <1$ である。 $G$ は線分 $MN$ 上にあり、$MG:GN=3:2$ である。したがって、内分点の公式より$$\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{AN}}{5}}={\displaystyle \frac{2\lambda }{5}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{3\mu }{5}}\overrightarrow{c}$$である。

一方、$G$ は三角形 $ABC$ の重心なので $$\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}$$ である。$\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ の係数を比較して $${\displaystyle \frac{2\lambda }{5}}={\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{3\mu }{5}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ を得る。よって $$\lambda ={\displaystyle \frac{5}{6}},\mu ={\displaystyle \frac{5}{9}}$$ である。

したがって $$AM:MB={\displaystyle \frac{5}{6}}:{\displaystyle \frac{1}{6}}=5:1$$ であり、$$AN:NC={\displaystyle \frac{5}{9}}:{\displaystyle \frac{4}{9}}=5:4$$ である。よって $$AM:MB=5:1,AN:NC=5:4$$ である。

(2) $D$ は辺 $BC$ の中点なので $$\overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}$$ である。また $$\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{5}{6}}\overrightarrow{b}$$ である。直線 $MD$ 上の点は、実数 $r$ を用いて $\overrightarrow{AM}+r(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM})$ と表せる。これを計算すると$${\displaystyle \frac{5}{6}}\overrightarrow{b}+r({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}-{\displaystyle \frac{5}{6}}\overrightarrow{b})=({\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{r}{3}})\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{r}{2}}\overrightarrow{c}$$である。

この点が直線 $AC$ 上にあるためには、$\overrightarrow{b}$ の係数が0であればよい。したがって $${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{r}{3}}=0$$ より $r={\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。このとき $\overrightarrow{c}$ の係数は $${\displaystyle \frac{r}{2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ である。よって $$\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{5}{4}}\overrightarrow{c}$$ となり、$E$ は $C$ の外側にあって $CE={\displaystyle \frac{1}{4}}AC$ である。したがって $AC:CE=4:1$ である。

条件・検算

内分点公式の係数は比と逆になる。点 $E$ は辺 $AC$ 上ではなく $C$ の外側の延長上にあるため、$AE=AC+CE$ を用いる。

三角形内の点の面積座標を使う。$M,N$ を辺上の比で表し、$G$ の面積座標 $({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$ と内分公式を比較する。(2)はメネラウスの定理で求める。

(1) $$AM:MB=p:(1-p),AN:NC=q:(1-q)$$とする。$G$ は $MN$ を $3:2$ に内分するので、頂点
$(A,B,C)$ に関する面積座標は$${\displaystyle \frac{2}{5}}(1-p,p,0)+{\displaystyle \frac{3}{5}}(1-q,0,q)\mathrm{.}$$重心の面積座標は$$({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$$だから、$B,C$ 成分を比較して$${\displaystyle \frac{2}{5}}p={\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{3}{5}}q={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$よって$$p={\displaystyle \frac{5}{6}},q={\displaystyle \frac{5}{9}},$$したがって$$AM:MB=5:1,AN:NC=5:4.$$(2)

$D$ は $BC$ の中点である。三角形 $ABC$ に対し、一直線上の
$M,D,E$ へメネラウスの定理を用いると$${\displaystyle \frac{AM}{MB}}\cdot {\displaystyle \frac{BD}{DC}}\cdot {\displaystyle \frac{CE}{EA}}=1.$$向きを除いた長さで$$5\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{CE}{EA}}=1$$だから $EA=5CE$。また $EA=AC+CE$ より$$AC=4CE\mathrm{.}$$したがって$$AC:CE=4:1.$$