東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $\overrightarrow{OA}$ の長さは $a$ なので、$\overrightarrow{OA}$ 方向の単位ベクトルを $\vec{e}$ とすると $$\vec{e}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}}{a}}$$ である。$\overrightarrow{OC}$ の $\overrightarrow{OA}$ 方向の成分は $$\overrightarrow{OC}\cdot \vec{e}={\displaystyle \frac{m}{a}}$$ である。

等脚台形では、点 $C$ と点 $B$ は下底 $OA$ に対して左右対称にずれ、上底 $CB$ は下底 $OA$ と平行である。したがって上底の長さは、下底の長さ $a$ から、左右の水平成分 $m\mathrm{/}a$ を2つ引いた $a-{\displaystyle \frac{2m}{a}}$ である。台形として上底の長さは正だから $$a-{\displaystyle \frac{2m}{a}}>0$$ である。$a>0$ より $$m<{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$$ が成り立つ。

(2)
高さは、$\overrightarrow{OC}$ から $\overrightarrow{OA}$ 方向成分を除いた長さである。したがって $$h=\sqrt{c^2-{\left({\displaystyle \frac{m}{a}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2{c}^2-m^2}}{a}}$$ である。下底は $a$、上底は $a-2m\mathrm{/}a$ なので、台形の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+a-{\displaystyle \frac{2m}{a}})\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{a^2{c}^2-m^2}}{a}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2-m}{a^2}}\sqrt{a^2{c}^2-m^2}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
上底 $CB$ は $OA$ と平行であり、その長さは $a-2m\mathrm{/}a$ である。したがって $$\overrightarrow{CB}=(1-{\displaystyle \frac{2m}{a^2}})\overrightarrow{OA}$$ であるから、$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+(1-{\displaystyle \frac{2m}{a^2}})\overrightarrow{OA}$$である。

点 $D$ は対角線 $OB$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて$$\overrightarrow{OD}=\lambda \overrightarrow{OB}=\lambda (1-{\displaystyle \frac{2m}{a^2}})\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OC}$$と書ける。一方、$D$ は対角線 $AC$ 上にもあるので、ある実数 $\mu$ を用いて $$\overrightarrow{OD}=(1-\mu )\overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OC}$$ と書ける。係数を比較すると $$\lambda =\mu ,\lambda (1-{\displaystyle \frac{2m}{a^2}})=1-\lambda$$ である。これを解くと $$\lambda ={\displaystyle \frac{a^2}{2(a^2-m)}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{a^2-2m}{2(a^2-m)}}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{a^2}{2(a^2-m)}}\overrightarrow{OC}$$である。

条件・検算

上底の長さが正であることから不等式を導き、面積公式と対角線の交点係数の分母が正であることまで確認した。